DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung der folgenden DGL:
y'=(x+y)² |
Ich finde keinen Lösungsansatz. Die Variabeln konnt ich nicht trennen. Hab auch scho n ohne Erfolg versucht zu substituieren. Wer kann mir helfen?
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Hi
Also mit der Substitution u = x + y bin ich schon ziemlich weit gekommen. Hier mein Ansatz:
[mm]
u' = 1 + y' = 1 + u^{2}
[/mm]
Diese D'gl. in u(x) ist inhomogen aber die homogene DGL ist separierbar.
Gruss
EvenSteven
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 So 27.08.2006 | | Autor: | Cosmo2002 |
und dann weiter mit Variation der Konstanten?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 So 27.08.2006 | | Autor: | EvenSteven |
Ja, ich glaube, man sieht die part. Lösung nicht so ohne weiteres.
Gruss
EvenSteven
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y'=(x+y)²
Subst.:
u=x+y =>
y=u-x (*)
y'=u'-1
Einsetzen:
u'-1=(x+u-x)² =>
u'=u²+1
Trennung der Variablen, Integration:
x+C=1/2 *ln|u²+1| =>
e^(2(x+C))-1=u² =>
[mm] \wurzel{e^(2(x+C))-1}=u
[/mm]
Einsetzen in (*):
[mm] y=\wurzel{e^(2(x+C))-1}-x
[/mm]
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Hallo Cosmo!
> u'=u²+1
>
> Trennung der Variablen, Integration:
> x+C=1/2 *ln|u²+1| =>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da hast Du eine falsche Stammfunktion ermittelt ...
Die o.g. Zeile umgeformt, ergibt ja:
$u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] u^2+1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\blue{\integral}{\bruch{1}{u^2+1} \ du} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{ \ dx}$
[/mm]
Und die Stammfunktion auf der linken Seite lautet: [mm] $\integral{\bruch{1}{u^2+1} \ du} [/mm] \ = \ [mm] \arctan(u) [/mm] + C$
Gruß vom
Roadrunner
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