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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Mo 09.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme mit einer geeigneten Substitution die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y'(x) = 2 [mm] \bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)} [/mm] |
Hallo,
hier einmal mein Lösungsweg:
y'(x) = 2 [mm] \bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = 2 [mm] \bruch{y}{x}-\bruch{x}{y}
[/mm]
Substituiere u = [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
g(u) = 2u - [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
u'(x) = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{g(u)-u}{x} [/mm] = [mm] \bruch{2u-\bruch{1}{u}-u}{x} [/mm] = [mm] \bruch{u-\bruch{1}{u}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{u^2-1}{u}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{u^2-1}{u*x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{u^2-1}{u*x}
[/mm]
[mm] \bruch{u}{u^2-1} [/mm] du = [mm] \bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] \integral \bruch{u}{u^2-1} [/mm] du = [mm] \integral \bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] \bruch{ln|u^2-1|}{2} [/mm] = ln|x|+C
[mm] ln|u^2-1| [/mm] = 2ln|x|+2C
[mm] ln|u^2-1| [/mm] = [mm] ln|x^2|+2C
[/mm]
[mm] e^{ln|u^2-1|} [/mm] = [mm] e^{ln|x^2|+2C}
[/mm]
[mm] u^2-1 [/mm] = [mm] x^2+2C
[/mm]
u(x) = [mm] \wurzel{x^2+1+2C}
[/mm]
Rücksubstituieren
y(x) = u(x)*x = [mm] x\wurzel{x^2+1+2C} [/mm] = [mm] \wurzel{x^3+x+2Cx}
[/mm]
Laut der Musterlösung soll hier aber:
y(x) = [mm] \wurzel{Cx^4+x^2}
[/mm]
rauskommen!
Könnt ihr mir sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe?
Danke
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Hallo,
> Bestimme mit einer geeigneten Substitution die allgemeine
> Lösung der Differentialgleichung
>
> y'(x) = 2 [mm]\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)}[/mm]
> Hallo,
>
> hier einmal mein Lösungsweg:
>
> y'(x) = 2 [mm]\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = 2 [mm]\bruch{y}{x}-\bruch{x}{y}[/mm]
>
> Substituiere u = [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>
> g(u) = 2u - [mm]\bruch{1}{u}[/mm]
>
> u'(x) = [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{g(u)-u}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{2u-\bruch{1}{u}-u}{x}[/mm] = [mm]\bruch{u-\bruch{1}{u}}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{u^2-1}{u}}{x}[/mm] = [mm]\bruch{u^2-1}{u*x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{u^2-1}{u*x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{u}{u^2-1}[/mm] du = [mm]\bruch{1}{x}dx[/mm]
>
> [mm]\integral \bruch{u}{u^2-1}[/mm] du = [mm]\integral \bruch{1}{x}dx[/mm]
>
> [mm]\bruch{ln|u^2-1|}{2}[/mm] = ln|x|+C
>
> [mm]ln|u^2-1|[/mm] = 2ln|x|+2C
>
> [mm]ln|u^2-1|[/mm] = [mm]ln|x^2|+2C[/mm]
>
> [mm]e^{ln|u^2-1|}[/mm] = [mm]e^{ln|x^2|+2C}[/mm]
>
> [mm]u^2-1[/mm] = [mm]x^2+2C[/mm]
>
> u(x) = [mm]\wurzel{x^2+1+2C}[/mm]
>
> Rücksubstituieren
>
> y(x) = u(x)*x = [mm]x\wurzel{x^2+1+2C}[/mm] = [mm]\wurzel{x^3+x+2Cx}[/mm]
>
>
> Laut der Musterlösung soll hier aber:
>
> y(x) = [mm]\wurzel{Cx^4+x^2}[/mm]
>
> rauskommen!
>
>
> Könnt ihr mir sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe?
Es ist
[mm]x*\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^4+x^2}[/mm]
Du hast also vergessen, das x zu quadrieren, wenn du es als Faktor unter die Wurzel nimmst.
Wenn du weiter ln(c)=2C (mit c>0) sowie
[mm]ln(x^2)+ln(c)=ln(c*x^2)[/mm]
ausnutzt, dann kommt die Konstante auch noch in der vorgegebenen Form an.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mo 09.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Danke!
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