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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 So 01.05.2011 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Gesucht ist die Lösung folgender Gleichung:
[mm] y''(t)+\omega^2*y(t)=0 [/mm] |
Hi,
Die DGL ist ja nun recht einfach und ich habe glaube ich mittlerweile 3 verschiedene Herleitungen gesehen, warum die Lösung [mm] y(t)=C_1*sin(\omega*t)+C_2*cos(\omega*t) [/mm] ist. Aber irgendwie passt mein Ergebnis mit folgender Methode nicht so recht:
Ansatz: [mm] y(t)=e^{s*t} \Rightarrow s^2*e^{s*t}+\omega^2*e^{s*t}=0
[/mm]
Nullstellen bestimmen: [mm] s^2+\omega^2=0 \Rightarrow s=\pm \wurzel[2]{-\omega^2}=\pm \omega*j
[/mm]
Superposition anwenden: [mm] C_1*e^{\omega*j*t}+C_2*e^{-\omega*j*t}=C_1*cos(\omega*t)+j*C_1*sin(\omega*t)+C_2*cos(-\omega*t)+j*C_2*sin(-\omega*t)=(C_1+C_2)*(cos(\omega*t))+j*(C_1-C_2)*sin(\omega*t)
[/mm]
mit [mm] C_1+C_2=y(t=0) [/mm] und [mm] C_1*\omega*j-C_2*\omega*j=y'(t=0)
[/mm]
Irgendwie passt das Ergebnis nicht so ganz, zumal der Imaginärteil nicht weg ist. Gibt es für die DGL evt. mehrere Lösungen oder wo ist mein Fehler?
Gruß
Pille
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Hallo Pille456,
> Gesucht ist die Lösung folgender Gleichung:
> [mm]y''(t)+\omega^2*y(t)=0[/mm]
> Hi,
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> Die DGL ist ja nun recht einfach und ich habe glaube ich
> mittlerweile 3 verschiedene Herleitungen gesehen, warum die
> Lösung [mm]y(t)=C_1*sin(\omega*t)+C_2*cos(\omega*t)[/mm] ist. Aber
> irgendwie passt mein Ergebnis mit folgender Methode nicht
> so recht:
>
> Ansatz: [mm]y(t)=e^{s*t} \Rightarrow s^2*e^{s*t}+\omega^2*e^{s*t}=0[/mm]
>
> Nullstellen bestimmen: [mm]s^2+\omega^2=0 \Rightarrow s=\pm \wurzel[2]{-\omega^2}=\pm \omega*j[/mm]
>
> Superposition anwenden:
> [mm]C_1*e^{\omega*j*t}+C_2*e^{-\omega*j*t}=C_1*cos(\omega*t)+j*C_1*sin(\omega*t)+C_2*cos(-\omega*t)+j*C_2*sin(-\omega*t)=(C_1+C_2)*(cos(\omega*t))+j*(C_1-C_2)*sin(\omega*t)[/mm]
> mit [mm]C_1+C_2=y(t=0)[/mm] und [mm]C_1*\omega*j-C_2*\omega*j=y'(t=0)[/mm]
>
> Irgendwie passt das Ergebnis nicht so ganz, zumal der
> Imaginärteil nicht weg ist. Gibt es für die DGL evt.
> mehrere Lösungen oder wo ist mein Fehler?
Fehler hast Du keinen gemacht.
Aus der komplexen Lösung dieser DGL
kann durch geeignete Wahl der Konstanten
eine reelle Lösung gewonnen werden.
>
> Gruß
> Pille
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 So 01.05.2011 | | Autor: | Pille456 |
Ahh okay, dann bin ich ja beruhigt, dass ich das doch richtig verstanden habe.
Danke!
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