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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Do 05.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich kann einen Rechenschritt nicht so recht nachvollziehen:
y'-x*y=0 [mm] \to \integral {\bruch{1}{y} dy}= \integral{x dx}
[/mm]
achso, noch eine kleine Frage sollte man das Ergebniss mit +- angeben (weil ich in einem Zwischenschritt denn [mm] ln(abs(y))=x^2/2 [/mm] habe) ?
Ergebnis: y= [mm] c*e^{ \bruch{x^2}{2}} [/mm] , c [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
Eine kleine Erklärung wäre schön. Besten Dank Kruder77
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 05.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Hier die gewünschten Zwischenschritte:
[mm] $y'-x\cdot [/mm] y=0$
[mm] $\gdw y'=x\cdot [/mm] y$
[mm] $\gdw \frac{y'}{y}=x$
[/mm]
[mm] $\gdw\integral\frac{y'}{y} dx=\integral x\cdot [/mm] dx$
[mm] $\gdw\integral\frac{\frac{dy}{dx}}{y} dx=\integral x\cdot [/mm] dx$
[mm] $\gdw \integral \frac{1}{y} [/mm] dy = [mm] \integral x\cdot [/mm] dx$
Folgendes nun zur Frage, ob ein [mm] $\pm$ [/mm] vor die Lösung gesetzt werden muss:
[mm] $\gdw [/mm] ln(|y|) + [mm] C_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}x^2+C_2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] ln(|y|) = [mm] \frac{1}{2}x^2+(C_2-C_1)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] |y| = [mm] e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot \overbrace{e^{C_2-C_1}}^{=c}$
[/mm]
Aus diesem Grunde dürftest du nur [mm] $c\in \IR^+$, [/mm] nicht [mm] $c\in \IR$ [/mm] schreiben. Da nun aber noch das Vorzeichen wegen der Betragstriche keine Rolle spielt, kannst du den Wertebereich für $c$ auf die gesamten reellen Zahlen ausweiten.
Selbstverständlich muss die triviale Lösung $y, y(x)=0$ gesondert aufgeführt, darf aber nicht vergessen werden.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Do 05.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Besten Dank, hat mir sehr geholfen! MfG Kruder77
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