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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL Kreistangenten
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DGL Kreistangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 So 22.02.2009
Autor: Martinius

Aufgabe
a) Find a DE for the family of tangents to [mm] x^2+y^1=1. [/mm] (Hint: Let [mm] (cos(\varphi), sin(\varphi)) [/mm] be any point of the circle.)

b) Show that the general solution of the DE in a) is defined by the family of tangent lines.

c) Show, that [mm] x^2+y^2=1 [/mm] is a solution of the DE of a). What kind of solution is it?

Hallo,

ich verstehe diese Aufgabe nicht.

zu a)

[mm] $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(\varphi) \\ sin(\varphi) \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -sin(\varphi) \\ cos(\varphi) \end{pmatrix}$ [/mm]


[mm] $y_t=m*x_t+b$ [/mm]

einen Tangentenpunkt einsetzen:

[mm] $sin(\varphi)=\bruch{\dot y}{\dot x}cos(\varphi)+b$ [/mm]

[mm] $b=sin(\varphi)-\bruch{\dot y}{\dot x}cos(\varphi)$ [/mm]

[mm] $y_t=\bruch{\dot y}{\dot x}*x_t+\left(sin(\varphi)-\bruch{\dot y}{\dot x}cos(\varphi) \right)=-cot(\varphi)*x_t+\left(\bruch{1}{sin(\varphi)} \right)$ [/mm]

Das müsste die Tangentengleichung sein. Aber was meint der Aufgabensteller mit Differentialgleichung der Tangentenschar ? Das müsste doch

[mm] $y_t''(x_t)=0$ [/mm]

sein, da eine Gerade 2 Parameter hat?


zu b) Verstehe ich nicht. Jede Geradengleichung ist doch eine Lösung von y''=0.

zu c) Diese Frage lässt mich vermuten, dass ich a) missverstanden habe.

LG, Martinius

        
Bezug
DGL Kreistangenten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Do 26.02.2009
Autor: Leopold_Gast

Für jede Gerade gilt [mm]y'' = 0[/mm]. Diese Differentialgleichung beschreibt also nicht nur die Kreistangenten.

Der Ansatz mit den trigonometrischen Funktionen ist nicht erforderlich.
Gehen wir aus von einem Punkt [mm](a,b)[/mm] auf dem Einheitskreis mit [mm]b \neq 0[/mm]. (Im Falle [mm]b = 0[/mm] handelt es sich um die Punkte [mm](\pm 1,0)[/mm]. Die Tangenten in diesen Punkten sind parallel zur [mm]y[/mm]-Achse, besitzen also keine wohldefinierte Steigung mehr.)
Da [mm](a,b)[/mm] auf dem Einheitskreis liegt, gilt

(1)  [mm]a^2 + b^2 = 1[/mm]

Die Kreistangente in [mm](a,b)[/mm] besitzt [mm](a,b)[/mm] als Normalenvektor, also eine Normalform der Gestalt [mm]ax+by = c[/mm]. Die Punktprobe mit [mm](x,y) = (a,b)[/mm] liefert [mm]c = a^2 + b^2[/mm], wegen (1) also

(2)  [mm]ax + by = 1[/mm]

als Tangentengleichung. Differenziert man diese Gleichung nach [mm]x[/mm], erhält man:

(3)  [mm]a + by' = 0[/mm]

Fasse (2),(3) als lineares Gleichungssystem in [mm]a,b[/mm] auf und löse es. Du bekommst so [mm]a,b[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x,y,y'[/mm]. Setzt du die Ergebnisse in (1) ein, so findest du die Differentialgleichung der Kreistangenten. Ich habe

[mm]1 + y'^{\, 2} = (y - x y')^2[/mm]

erhalten.

Bezug
                
Bezug
DGL Kreistangenten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 So 01.03.2009
Autor: Martinius

Hallo Leopold_Gast,

besten Dank für deine Antwort.

LG, Martinius

Bezug
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