DGL 2ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Differentialgleichung y'' = 4xy mit den Anfangswerten y(0) = 1 und y'(0) = 4. Schreiben Sie die Gleichung um in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, bringen Sie es also in
die Form [mm] \vektor{y1 \\ y2} [/mm] = [mm] \vektor{ f1(x,y1,y2) \\ f2(x,y1,y2) }. [/mm] |
Ich muss ja die Gl umschreiben zu [mm] y^{2} [/mm] = [mm] f(x,y_{1},y_{2}), [/mm] wie mache ich das und wo verwende ich da die Anfangswertbedingungen? AUs dem Skript werde ich einfach nicht schlau :-(
MfG Julia
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Hallo himbeersenf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du setzt [mm] y_1=y [/mm] und [mm] y_2=y' [/mm]
Dann ist [mm] y_1'=y_2 [/mm] und [mm] y_2'=y''=x*y=x*y_1
[/mm]
Mit den Anfangsbedingungen machst Du genau das gleiche
viele Grüße
mathemadeunn
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Danke erstmal,
ich versteh es ehrlich gesagt noch nicht ganz, obwohl das ja ein ziemlich einfach zu sein scheint. Wieso ist [mm] y_{2}' [/mm] = xy? y'' ist doch 4xy?
Also ich sag dir mal was ich kapiert hab:
f ist eine Funktion f: [mm] \IRx\IR^{n} \to \IR^{n}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y).
Also ist [mm] x\in [/mm] IR und [mm] y\in \IR^{n}. [/mm] mit y' hörts jetzt auf mit dem verständnis, einen Vektor kann man doch nicht ableiten...?
Ich glaube ich stelle grad ziemlich doofe Fragen, aber da steht grad wer auf dem Schlauch 
Gruß,
Julia
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Hallo Julia,
> ich versteh es ehrlich gesagt noch nicht ganz, obwohl das
> ja ein ziemlich einfach zu sein scheint. Wieso ist [mm]y_{2}'[/mm] =
> xy? y'' ist doch 4xy?
Muß natürlich 4xy heißen war ein Schreibfehler von mir.
> Also ich sag dir mal was ich kapiert hab:
> f ist eine Funktion f: [mm]\IRx\IR^{n} \to \IR^{n},[/mm] (x,y)
> [mm]\mapsto[/mm] f(x,y).
> Also ist [mm]x\in[/mm] IR und [mm]y\in \IR^{n}.[/mm] mit y' hörts jetzt auf
> mit dem verständnis, einen Vektor kann man doch nicht
> ableiten...?
Komponentenweise kann man den ableiten.
Hier ist n erstmal 2 und betrachtet wird das Gleichungssystem
[mm] \vektor{y_1' \\ y_2'}= \vektor{y_2 \\ 4xy_1}
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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Soweit ist jetzt alles klar, mit den Anfangswertbedingungen [mm] y_{2}(0) [/mm] = 4 und [mm] y_{1}(0) [/mm] = 1 kenne ich auch schon die konstanten von y1 und y2. Aber wie finde ich eine Stammfunktion zu [mm] 4xy_{1}, [/mm] das ist ja ein Produkt aus zwei Funktionen?
MfG Julia
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Hallo Julia,
So eine DGL direkt lösen zu können ist sicher schwierig bzw. selten möglich. Man kann das aber numerisch lösen.
viele Grüße
mathemaduenn
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