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| Aufgabe | a) berechnen sie die allgemeine lösung von
[mm] x''+2\gamma*x'+\omega_0^2*x=0
[/mm]
im Fall [mm] \gamma=\omega_0. [/mm] Wie verhalten sich diese Lösungen für t [mm] \to \infty?
[/mm]
b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung von [mm] x''+2\gamma*x'+\gamma^2x=te^{-\gamma*t} [/mm] |
a)
[mm] x''+2\gamma*x'+\omega_0^2=0
[/mm]
[mm] \lambda^2+2\gamma*\lambda+\omega_0^2=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}= -\gamma
[/mm]
[mm] x(t)=C_1*e^{-\gamma*t}+C_2*e^{-\gamma*t}*t
[/mm]
für t [mm] \to \infty [/mm] geht x(t) gegen unendlich
b)
[mm] x''+2\gamma*x'+\gamma^2x=te^{-\gamme*t}
[/mm]
[mm] \lambda^2+2\gamma*\lambda+\gamma^2=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=-\gamma
[/mm]
[mm] x_h(t)=C_1*e^{-\gamma*t}+C_2*e^{-\gamma*t}*t
[/mm]
[mm] x_p(t)=t^3*e^{2t}
[/mm]
ist [mm] x_p(t) [/mm] richtig? ich habe folgenden ansatz genommen:
[mm] x_p(t)=P_m(t)*t^k*e^{ut} [/mm] wobei [mm] P_m(t) [/mm] ein Polynom ist.
in meinem Fall [mm] P_m(t)=t
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> a) berechnen sie die allgemeine lösung von
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2=0[/mm]
>
> im Fall [mm]\gamma=\omega_0.[/mm] Wie verhalten sich diese Lösungen
> für t [mm]\to \infty?[/mm]
>
> b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung von
> [mm]x''+2\gamma*x'+\gamma^2x=te^{-\gamma*t}[/mm]
> a)
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2=0[/mm]
Lautet Deine DGL:
[mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2=0[/mm]
oder:
[mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2*x=0[/mm] ?
> [mm]\lambda^2+2\gamma*\lambda+\omega_0^2=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}= -\gamma[/mm]
>
> [mm]x(t)=C_1*e^{-\gamma*t}+C_2*e^{-\gamma*t}*t[/mm]
>
> für t [mm]\to \infty[/mm] geht x(t) gegen unendlich
>
>
> b)
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\gamma^2x=te^{-\gamme*t}[/mm]
>
>
> [mm]\lambda^2+2\gamma*\lambda+\gamma^2=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=-\gamma[/mm]
>
> [mm]x_h(t)=C_1*e^{-\gamma*t}+C_2*e^{-\gamma*t}*t[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=t^3*e^{2t}[/mm]
>
> ist [mm]x_p(t)[/mm] richtig? ich habe folgenden ansatz genommen:
>
> [mm]x_p(t)=P_m(t)*t^k*e^{ut}[/mm] wobei [mm]P_m(t)[/mm] ein Polynom ist.
>
> in meinem Fall [mm]P_m(t)=t[/mm]
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Sa 07.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
hallo,
> Lautet Deine DGL:
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2=0[/mm]
>
> oder:
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2*x=0[/mm] ?
es ist die zweite gleichung. habe es jetzt korregiert
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Hallo,
> a) berechnen sie die allgemeine lösung von
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2*x=0[/mm]
>
> im Fall [mm]\gamma=\omega_0.[/mm] Wie verhalten sich diese Lösungen
> für t [mm]\to \infty?[/mm]
>
> b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung von
> [mm]x''+2\gamma*x'+\gamma^2x=te^{-\gamma*t}[/mm]
>
> a)
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\omega_0^2=0[/mm]
>
> [mm]\lambda^2+2\gamma*\lambda+\omega_0^2=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}= -\gamma[/mm]
>
> [mm]x(t)=C_1*e^{-\gamma*t}+C_2*e^{-\gamma*t}*t[/mm]
In deiner Rechnung fehlt das x ja weiterhin. Sagen wir es also nochmal dazu: obiges ist die allgemeine Lösung für die homogene DGL
[mm] x''+2\gamma*x'+\omega_0^2*x=0
[/mm]
>
> für t [mm]\to \infty[/mm] geht x(t) gegen unendlich
Das sehe ich nicht so. Die Wahl der Parameter legt nahe, dass [mm] \gamma>0 [/mm] gemeint ist (weil es sich vermutlich um die DGL einer gedämpften Schwingung handelt, jedenfalls hast du das nicht dazugeschrieben). Für [mm] \gamma>0 [/mm] ist deine Vermutung falsch. Dann gilt natürlich
[mm] lim_{t\rightarrow\infty}x(t)=0
[/mm]
>
> b)
>
> [mm]x''+2\gamma*x'+\gamma^2x=te^{-\gamme*t}[/mm]
>
>
> [mm]\lambda^2+2\gamma*\lambda+\gamma^2=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=-\gamma[/mm]
>
> [mm]x_h(t)=C_1*e^{-\gamma*t}+C_2*e^{-\gamma*t}*t[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=t^3*e^{2t}[/mm]
>
> ist [mm]x_p(t)[/mm] richtig? ich habe folgenden ansatz genommen:
>
> [mm]x_p(t)=P_m(t)*t^k*e^{ut}[/mm] wobei [mm]P_m(t)[/mm] ein Polynom ist.
>
> in meinem Fall [mm]P_m(t)=t[/mm]
Das ist m.A. nach falsch. Bei diesem Ansatz vom Typ der rechten Seite müssen die Polynome in der partikulären Lösung die gleiche Ordnung haben wie das in der Störfunktion, also hier linear sein. Desweiteren muss man hier noch die Fallunterscheidung vornehmen, ob [mm] \gamma\ne{1} [/mm] oder [mm] \gamma=1 [/mm] ist (es sei denn, da stehen Dinge in der Aufgaben, von denen wir nichts wissen), denn im zweiten Fall müsste man nochmals mit t multiplizieren. Wie kommst du übrigens auf den Exponenten deiner partikulären Lösung?
Gruß, Diophant
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> Desweiteren muss man
> hier noch die Fallunterscheidung vornehmen, ob [mm]\gamma\ne{1}[/mm]
> oder [mm]\gamma=1[/mm] ist (es sei denn, da stehen Dinge in der
> Aufgaben, von denen wir nichts wissen), denn im zweiten
> Fall müsste man nochmals mit t multiplizieren.
nein in der aufgabe steht nicht mehr. ich versteh nicht wieso man hier eine fall unterscheidung machen muss. ich denke es spielt keine rolle ob [mm] \gamma\ne{1} [/mm] oder [mm] \gamma=1 [/mm] ist
die partikuläre Lösung für das polynom wird mit t multipliziert, wenn a [mm] \not= [/mm] 0 und b=0 für x``+ax`+bx=g(t)
meine Lösung für das Störglied [mm] g(t)=te^{-\gamma*t} [/mm] ist nun
[mm] x_p(t)=(At+B)*t^2*e^{2t}
[/mm]
ist die partikuläre lösung nun richtig?
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Hallo arbeitsamt,
> > Desweiteren muss man
> > hier noch die Fallunterscheidung vornehmen, ob [mm]\gamma\ne{1}[/mm]
> > oder [mm]\gamma=1[/mm] ist (es sei denn, da stehen Dinge in der
> > Aufgaben, von denen wir nichts wissen), denn im zweiten
> > Fall müsste man nochmals mit t multiplizieren.
>
> nein in der aufgabe steht nicht mehr. ich versteh nicht
> wieso man hier eine fall unterscheidung machen muss. ich
> denke es spielt keine rolle ob [mm]\gamma\ne{1}[/mm] oder [mm]\gamma=1[/mm]
> ist
>
> die partikuläre Lösung für das polynom wird mit t
> multipliziert, wenn a [mm]\not=[/mm] 0 und b=0 für x''+ax'+bx=g(t)
>
> meine Lösung für das Störglied [mm]g(t)=te^{-\gamma*t}[/mm] ist
> nun
>
> [mm]x_p(t)=(At+B)*t^2*e^{2t}[/mm]
>
> ist die partikuläre lösung nun richtig?
Der Ansatz für die partikuläre Lösung ist fast richtig:
[mm]x_p(t)=(At+B)*t^2*e^{\blue{-\gamma}t}[/mm]
Gruss
MathePower
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