DGL 2. Ordnung allg Lsg < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 25.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y '' +y ' - 2y = [mm] x^2 +e^{3x} [/mm] |
Moin Moin,
1. Ich löse zunächst die homogene DGL mithilfe des Exponentialansatzes
y '' +y ' - 2y = 0
y = [mm] e^{\lambda*x}
[/mm]
y ' = [mm] \lambda*e^{\lambda*x}
[/mm]
y '' = [mm] \lambda^2*e^{\lambda*x}
[/mm]
=> Charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} [/mm] + [mm] \lambda*e^{\lambda*x} -2*e^{\lambda*x} [/mm] = 0
[mm] \lambda^2 +\lambda [/mm] -2 = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = 2
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{2x}
[/mm]
2. Ich löse dann die inhomogene DGL bzw. ich berechne die partikuläre Lösung
Ansatz
[mm] y_p [/mm] = [mm] a*x^2 [/mm] +b*x +c
[mm] y_p [/mm] ' = 2ax +b
[mm] y_p [/mm] '' = 2a
=>
2a +(2ax+b) [mm] -2*(ax^2+bx [/mm] +c) = [mm] x^2 +e^{3x}
[/mm]
Da Koeffizientenvergleich hier nicht funktioniert, wähle ich mir drei x-Werte...
x=0 2a +b -2c = 1
x=1 2a -b -2c = 1 + [mm] e^3
[/mm]
x =2 -2a -3b -2c = 4 + [mm] e^6
[/mm]
Das ergibt a = -91,564 ; b = -10,043 ; c = -97,086
[mm] y_p [/mm] = [mm] -91,564*x^2 [/mm] -10,043x -97,086
Richtig?
[mm] y_a [/mm] = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm]
[mm] y_a [/mm] = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{2x} -91,564*x^2 [/mm] -10,043x -97,086
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Do 25.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>
> y '' +y ' - 2y = [mm]x^2 +e^{3x}[/mm]
> Moin Moin,
>
> 1. Ich löse zunächst die homogene DGL mithilfe des
> Exponentialansatzes
>
> y '' +y ' - 2y = 0
>
>
> y = [mm]e^{\lambda*x}[/mm]
>
> y ' = [mm]\lambda*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> y '' = [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> => Charakteristische Gleichung
>
> [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm] + [mm]\lambda*e^{\lambda*x} -2*e^{\lambda*x}[/mm]
> = 0
>
> [mm]\lambda^2 +\lambda[/mm] -2 = 0
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1 und [mm]\lambda_2[/mm] = 2
[mm] \lambda_2 [/mm] =2 stimmt nicht, sondern [mm] \lambda_2 [/mm] =-2
>
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{2x}[/mm]
Nein, sondern [mm]y_h(x)[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{-2x}[/mm].
>
>
> 2. Ich löse dann die inhomogene DGL bzw. ich berechne die
> partikuläre Lösung
>
> Ansatz
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]a*x^2[/mm] +b*x +c
Dieser Ansatz ist völlig falsch ! In der Störfunktion kommt doch [mm] e^{3x} [/mm] vor !
Gehe so vor:
Bestimme eine spezielle Lösung [mm] y_p [/mm] von
$y '' +y ' - 2y = [mm] x^2 [/mm] $
und bestimme eine spezielle Lösung [mm] z_p [/mm] von
$y '' +y ' - 2y = [mm] e^{3x} [/mm] $.
Dann ist [mm] y_p+z_p [/mm] eine spezielle Lösung von $y '' +y ' - 2y = [mm] x^2 +e^{3x} [/mm] $.
>
> [mm]y_p[/mm] ' = 2ax +b
>
> [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>
>
> =>
>
> 2a +(2ax+b) [mm]-2*(ax^2+bx[/mm] +c) = [mm]x^2 +e^{3x}[/mm]
>
>
> Da Koeffizientenvergleich hier nicht funktioniert, wähle
> ich mir drei x-Werte...
Oh Gott .... das wird nix !
>
>
> x=0 2a +b -2c = 1
>
> x=1 2a -b -2c = 1 + [mm]e^3[/mm]
>
> x =2 -2a -3b -2c = 4 + [mm]e^6[/mm]
>
>
> Das ergibt a = -91,564 ; b = -10,043 ; c = -97,086
>
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]-91,564*x^2[/mm] -10,043x -97,086
>
> Richtig?
>
>
> [mm]y_a[/mm] = [mm]y_h[/mm] + [mm]y_p[/mm]
>
> [mm]y_a[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{2x} -91,564*x^2[/mm] -10,043x -97,086
>
>
> Richtig?
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 26.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
> Gehe so vor:
>
> Bestimme eine spezielle Lösung [mm]y_p[/mm] von
>
> [mm]y '' +y ' - 2y = x^2 [/mm]
Ich probiers mal.
[mm] y_p [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] +bx +c
[mm] y_p [/mm] ' = 2ax +b
[mm] y_p [/mm] '' = 2a
2a +2ax+b [mm] -2*(ax^2+bx+c) [/mm] = [mm] x^2 [/mm]
[mm] (-2a)*x^2 [/mm] +(2a -2b)*x +(2a-2c) = [mm] x^2 [/mm]
=>
-2a = 1
2a-2b = 0
2a-2c = 0
a= - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
b= - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
c= - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] y_p [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] korrigiert
richtig?
> und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
>
> [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].
Hier fehlt mir der Ansatz! ?
[mm] z_p [/mm] = [mm] a*e^{bx} [/mm] oder wie muss ich da weitermachen?
> Dann ist [mm]y_p+z_p[/mm] eine spezielle Lösung von [mm]y '' +y ' - 2y = x^2 +e^{3x} [/mm].
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 26.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> > Gehe so vor:
> >
> > Bestimme eine spezielle Lösung [mm]y_p[/mm] von
> >
> > [mm]y '' +y ' - 2y = x^2[/mm]
>
> Ich probiers mal.
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]ax^2[/mm] +bx +c
>
> [mm]y_p[/mm] ' = 2ax +b
>
> [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>
>
> 2a +2ax+b [mm]-2*(ax^2+bx+c)[/mm] = [mm]x^2[/mm]
>
>
> [mm](-2a)*x^2[/mm] +(2a -2b)*x +(2a-2c) = [mm]x^2[/mm]
>
>
> =>
>
> -2a = 1
> 2a-2b = 0
> 2a-2c = 0
>
> a= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> b= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> c= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]y_p[/mm] = a= - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] a= - [mm]\bruch{1}{2}+X[/mm] a= -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> richtig?
Ja, aber mit der Formatierung ist was schiefgegangen.
>
> > und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
> >
> > [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].
>
> Hier fehlt mir der Ansatz! ?
>
> [mm]z_p[/mm] = [mm]a*e^{bx}[/mm] oder wie muss ich da weitermachen?
Ansatz: [mm] z_p(x)=ae^{3x}
[/mm]
>
>
> > Dann ist [mm]y_p+z_p[/mm] eine spezielle Lösung von [mm]y '' +y ' - 2y = x^2 +e^{3x} [/mm].
>
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Fr 26.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
> > > und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
> > >
> > > [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].
> >
> > Hier fehlt mir der Ansatz! ?
> >
> > [mm]z_p[/mm] = [mm]a*e^{bx}[/mm] oder wie muss ich da weitermachen?
>
> Ansatz: [mm]z_p(x)=ae^{3x}[/mm]
Ok, man lernt ja immer was dazu (hoffnungsvollerweise) 
[mm] z_p(x) [/mm] = [mm] a*e^{3x}
[/mm]
[mm] z_p [/mm] ' (x) = [mm] 3a*e^{3x}
[/mm]
[mm] z_p [/mm] '' (x) = [mm] 9a*e^{3x}
[/mm]
[mm] 9a*e^{3x} [/mm] + [mm] 3a*e^{3x} -2*e^{3x} [/mm] = [mm] e^{3x} [/mm] | * [mm] e^{3x}
[/mm]
9a + 3a -2 = 1
a = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] z_p [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*e^{3x} [/mm]
richtig?
>
Daraus ergibt sich die spezielle Lösung
[mm] y_p [/mm] + [mm] z_p [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*e^{3x} [/mm]
...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 26.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > > und bestimme eine spezielle Lösung [mm]z_p[/mm] von
> > > >
> > > > [mm]y '' +y ' - 2y = e^{3x} [/mm].
> > >
> > > Hier fehlt mir der Ansatz! ?
> > >
> > > [mm]z_p[/mm] = [mm]a*e^{bx}[/mm] oder wie muss ich da weitermachen?
> >
> > Ansatz: [mm]z_p(x)=ae^{3x}[/mm]
>
> Ok, man lernt ja immer was dazu (hoffnungsvollerweise)
>
> [mm]z_p(x)[/mm] = [mm]a*e^{3x}[/mm]
>
> [mm]z_p[/mm] ' (x) = [mm]3a*e^{3x}[/mm]
>
> [mm]z_p[/mm] '' (x) = [mm]9a*e^{3x}[/mm]
>
>
> [mm]9a*e^{3x}[/mm] + [mm]3a*e^{3x} -2*e^{3x}[/mm] = [mm]e^{3x}[/mm] | * [mm]e^{3x}[/mm]
>
>
> 9a + 3a -2 = 1
Nein, sondern 9a+3a-2a=1
>
> a = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
>
> [mm]z_p[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}*e^{3x}[/mm]
>
> richtig?
> >
>
> Daraus ergibt sich die spezielle Lösung
>
> [mm]y_p[/mm] + [mm]z_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*x[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}*e^{3x}[/mm]
>
> ...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Sa 27.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
OK, also...
[mm]9a*e^{3x}[/mm] + [mm]3a*e^{3x} -2*e^{3x}[/mm] = [mm]e^{3x}[/mm] | : [mm]e^{3x}[/mm]
9a + 3a -2a = 1
a = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
[mm]z_p[/mm] = [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]
richtig?
Daraus ergibt sich die spezielle Lösung
[mm]y_p[/mm] + [mm]z_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]
...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 27.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> OK, also...
>
> [mm]9a*e^{3x}[/mm] + [mm]3a*e^{3x} -2*e^{3x}[/mm] = [mm]e^{3x}[/mm] | : [mm]e^{3x}[/mm]
>
> 9a + 3a -2a = 1
>
> a = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
>
> [mm]z_p[/mm] = [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]
>
> richtig?
>
>
> Daraus ergibt sich die spezielle Lösung
>
> [mm]y_p[/mm] + [mm]z_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}*x[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{10}*e^{3x}[/mm]
>
jetzt stimmts
> ...
>
>
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