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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2. Ordnung Variablentrenng
DGL 2. Ordnung Variablentrenng < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Do 25.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y '' = x*cos(x)    

durch Variablentrennung.


2. Berechnen Sie die spezielle Lösung der DGL für das Anfangswertproblem

y(0) = 1  und y ' (0) = 0.



Moin Moin!

Hmm... also

y '' = x*cos(x)    

[mm] \bruch{d^2y}{d^2x} [/mm] = x*cos(x)

[mm] \integral_{}^{}{ 1*d^2y} [/mm]  = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)*d^2x} [/mm]

Oder ist es hier geschickter zunächst y ' zu bilden und statt [mm] \bruch{d^2y}{d^2x} [/mm] zunächst [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] zu verwenden???

[mm] \integral_{}^{}{ 1*dy} [/mm]  = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)*dx} [/mm]


y ' = x*cos(x) + cos(x)  +C    mit partieller Integration


und nochmal


[mm] \integral_{}^{}y [/mm] ' dy   = [mm] \integral_{}^{}{(x*cos(x) + cos(x)) dx} [/mm]

y = sin(x) +C


Ist das soweit richtig? Ist das die allgemeine Lösung?


zu 2.)

y(0) = 1    sin(0) + [mm] C_1 [/mm] = 1   =>  [mm] C_1 [/mm] = 1

y '(0) = 0     0*cos(0) +cos(0) + [mm] C_2 [/mm] = 1    [mm] C_2 [/mm] = -1


Spezielle Lösung

y = sin(x) + 1

y ' = x*cos(x) +cos(x) -1  


???












        
Bezug
DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Do 25.10.2018
Autor: fred97


> 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>  
> y '' = x*cos(x)    
>
> durch Variablentrennung.

Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.

>  
>
> 2. Brechnen sie die spezielle Lösung der DGL für das
> Anfangswertproblem
>  
> y(0) = 1  und y ' (0) = 0.
>  Moin Moin!
>  
> Hmm... also
>  
> y '' = x*cos(x)    
>
> [mm]\bruch{d^2y}{d^2x}[/mm] = x*cos(x)
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ 1*d^2y}[/mm]  = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)*d^2x}[/mm]
>

Du wirfst hier mit Symbolen um Dich, von denen ich nicht glaube , dass sie Dir klar sind !

> Oder ist es hier geschickter zunächst y ' zu bilden und
> statt [mm]\bruch{d^2y}{d^2x}[/mm] zunächst [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] zu
> verwenden???
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ 1*dy}[/mm]  = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)*dx}[/mm]
>
>
> y ' = x*cos(x) + cos(x)  +C    mit partieller Integration

Das stimmt nicht ! Wie kommst Du darauf ???

>  
>
> und nochmal
>
>
> [mm]\integral_{}^{}y[/mm] ' dy   = [mm]\integral_{}^{}{(x*cos(x) + cos(x)) dx}[/mm]
>
> y = sin(x) +C
>  
>
> Ist das soweit richtig?

Nein ! Aber das kannst Du doch sofort durch eine Probe nachrechnen

> Ist das die allgemeine Lösung?

Nein.

Wenn Du $y '' = x*cos(x)   $  zweimal partiell integrierst (aber richtig !) solltest Du erhalten

  $y(x)=2 [mm] \sin [/mm] x -x [mm] \cos [/mm] x+cx+d$

>  
>
> zu 2.)
>  
> y(0) = 1    sin(0) + [mm]C_1[/mm] = 1   =>  [mm]C_1[/mm] = 1

>  
> y '(0) = 0     0*cos(0) +cos(0) + [mm]C_2[/mm] = 1    [mm]C_2[/mm] = -1
>
>
> Spezielle Lösung
>  
> y = sin(x) + 1
>  
> y ' = x*cos(x) +cos(x) -1  
>
>
> ???
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Sa 27.10.2018
Autor: hase-hh


> > 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichung
>  >  
> > y '' = x*cos(x)    
> >
> > durch Variablentrennung.
>  
> Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch
> Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.

Weiß ich nicht... vllt Prof. H. ???


> > y '' = x*cos(x)    

> Wenn Du [mm]y '' = x*cos(x) [/mm]  zweimal partiell integrierst
> (aber richtig !) solltest Du erhalten
>  
> [mm]y(x)=2 \sin x -x \cos x+cx+d[/mm]


Ich fange nochmal von vorne an.

y '' = x*cos(x)


1. Integration zu y'

[mm] \bruch{dy'}{dx} [/mm] = x*cos(x)

dy' = x*cos(x)*dx

[mm] \integral_{}^{}{dy'} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)dx} [/mm]

rechte Seite mit partieller Integration. Ich wähle

u = x     v' = cos(x)

u' = 1    v = sin(x)


y' + [mm] C_1 [/mm] = x*sin(x) - [mm] \integral_{}^{}{1*sin(x) dx} +C_2 [/mm]

y' + [mm] C_1 [/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2 [/mm]  | - [mm] C_1 [/mm]

y' = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1 [/mm]


2. Integration zu y

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1 [/mm]

dy = (x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1)*dx [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{ dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(x*sin(x) + cos(x) +C_2-C_1)}{dx} [/mm]


Für den Baustein auf der rechten Seite mit partieller Integration wähle ich

u = x    v' = sin(x)

u' = 1   v = - cos(x)

y + [mm] C_3 [/mm] = -x*cos(x) - [mm] \integral_{}^{}{-cos(x) dx} [/mm] +sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4 [/mm]

y + [mm] C_3 [/mm] = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4 [/mm]

y = = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4-C_3 [/mm]


zu 2.

Wenn das stimmt... wie würde man dann das Anfangswertproblem lösen?
Muss ich dann [mm] C_1, C_2, C_3 [/mm] und [mm] C_4 [/mm] bestimmen?

y(0) = 1

1 =  -0*cos(0) + 2*sin(0) [mm] +(C_2-C_1)*0 [/mm] + [mm] C_4-C_3 [/mm]

[mm] C_4-C_3 [/mm] = 1


y '(0) = 0

0 = 0*sin(x) + cos(0) [mm] +C_2-C_1 [/mm]

[mm] C_2-C_1 [/mm] = -1

[mm] y_p [/mm] = = -x*cos(x) + 2*sin(x) -x + 1


???

















Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 So 28.10.2018
Autor: notinX

Hallo hase-hh,

> > > 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > > Differentialgleichung
>  >  >  
> > > y '' = x*cos(x)    
> > >
> > > durch Variablentrennung.
>  >  
> > Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch
> > Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.
>  
> Weiß ich nicht... vllt Prof. H. ???
>  
>
> > > y '' = x*cos(x)    
>
> > Wenn Du [mm]y '' = x*cos(x) [/mm]  zweimal partiell integrierst
> > (aber richtig !) solltest Du erhalten
>  >  
> > [mm]y(x)=2 \sin x -x \cos x+cx+d[/mm]
>  
>
> Ich fange nochmal von vorne an.
>
> y '' = x*cos(x)
>
>
> 1. Integration zu y'
>
> [mm]\bruch{dy'}{dx}[/mm] = x*cos(x)
>  
> dy' = x*cos(x)*dx
>  
> [mm]\integral_{}^{}{dy'}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)dx}[/mm]
>  
> rechte Seite mit partieller Integration. Ich wähle
>  
> u = x     v' = cos(x)
>  
> u' = 1    v = sin(x)
>
>
> y' + [mm]C_1[/mm] = x*sin(x) - [mm]\integral_{}^{}{1*sin(x) dx} +C_2[/mm]

auf der rechten Seite hast Du noch nicht integriert, also gibts da auch keine Konstante [mm] $C_2$. [/mm]

>  
> y' + [mm]C_1[/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2[/mm]  | - [mm]C_1[/mm]
>  
> y' = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1[/mm]

Eine Konstante [mm] $c:=C_2-C_1$ [/mm] reicht:
[mm] $y'=x\sin x+\cos [/mm] x +c$

>  
>
> 2. Integration zu y
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1[/mm]
>
> dy = (x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1)*dx[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ dy}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{(x*sin(x) + cos(x) +C_2-C_1)}{dx}[/mm]

[mm] $\int \,\mathrm{d}y=\int \left(x\sin x+cos x +c\right) \,\mathrm{d}x$ [/mm]

>  
>
> Für den Baustein auf der rechten Seite mit partieller
> Integration wähle ich
>
> u = x    v' = sin(x)
>  
> u' = 1   v = - cos(x)
>  
> y + [mm]C_3[/mm] = -x*cos(x) - [mm]\integral_{}^{}{-cos(x) dx}[/mm] +sin(x)
> [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4[/mm]
>
> y + [mm]C_3[/mm] = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4[/mm]
>
> y = = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4-C_3[/mm]

Auch hier reicht eine Integrationskonstante:
[mm] $y=2\sin x-x\cos [/mm] x +cx+d$


>  
>
> zu 2.
>  
> Wenn das stimmt... wie würde man dann das
> Anfangswertproblem lösen?
>  Muss ich dann [mm]C_1, C_2, C_3[/mm] und [mm]C_4[/mm] bestimmen?
>  
> y(0) = 1
>
> 1 =  -0*cos(0) + 2*sin(0) [mm]+(C_2-C_1)*0[/mm] + [mm]C_4-C_3[/mm]
>  
> [mm]C_4-C_3[/mm] = 1
>  
>
> y '(0) = 0
>  
> 0 = 0*sin(x) + cos(0) [mm]+C_2-C_1[/mm]
>  
> [mm]C_2-C_1[/mm] = -1
>
> [mm]y_p[/mm] = = -x*cos(x) + 2*sin(x) -x + 1
>
>
> ???

[ok]
Jetzt sollte auch klar werden warum zwei Integrationskonstanten reichen.

Gruß,

notinX

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