DGL 2. Ordnung < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | tx'' -(1+t)x'+x=0 |
Hallo. Ich habe hier eine DGL 2.Ordnung und ich soll erst einmal eine Lösung dieser DGL bestimmen und anschließend diese Lösung für das Reduktionsverfahren von d'Alembert benutzen.
Hier kommt die DGL: tx'' -(1+t)x'+x=0
Als Ansatz für die Lösung der homogenen Gleichung habe ich x(t)=e^λt ; x'(t)=λe^λt ; x''(t)=(λ^2)(e^λt) genommen.
Diese Werte habe ich in die Ausgangs-DGL eingesetzt und ein Polynom zweiten Grades erhalten, welches mit der pq-Formel gelöst für λ1=1 und λ2=1/t ergibt.
Ist x(t)=c(1)et+c(2)e dann eine Lösung der DgL?? (c(1) und c(2)sind Konstanten)
und vor allem, wie verwende ich diese Lösung um mit dem Reduktionsverfahren von d'Alembert eine allgemeine Lösung der DGL zu erhalten??
Vielen Dank schon mal für jede (noch so kleine) Hilfe.
Beste Grüße, Jonathan
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Jonny-boy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> tx'' -(1+t)x'+x=0
> Hallo. Ich habe hier eine DGL 2.Ordnung und ich soll erst
> einmal eine Lösung dieser DGL bestimmen und anschließend
> diese Lösung für das Reduktionsverfahren von d'Alembert
> benutzen.
> Hier kommt die DGL: tx'' -(1+t)x'+x=0
>
> Als Ansatz für die Lösung der homogenen Gleichung habe ich
> x(t)=e^λt ; x'(t)=λe^λt ;
> x''(t)=(λ^2)(e^λt) genommen.
>
> Diese Werte habe ich in die Ausgangs-DGL eingesetzt und ein
> Polynom zweiten Grades erhalten, welches mit der pq-Formel
> gelöst für λ1=1 und λ2=1/t ergibt.
>
> Ist x(t)=c(1)et+c(2)e dann eine Lösung der DgL?? (c(1) und
> c(2)sind Konstanten)
Aufgrund der Gestalt von der DGL kannst
Du eine Lösung herausfinden, die die Form [mm]x_{1}\left(t\right)=A*t+B[/mm] hat.
>
> und vor allem, wie verwende ich diese Lösung um mit dem
> Reduktionsverfahren von d'Alembert eine allgemeine Lösung
> der DGL zu erhalten??
Setze hier an:
[mm]x_{2}\left(t\right)=c\left(t\right)*x_{1}\left(t\right)[/mm]
Dann erhältst Du wiederum eine DGL zweiter Ordnung,
die die Form [mm]F\left(c'',c')=0[/mm] hat.
Diese kannst Du dann mittels Substitution
auf eine DGL 1. Ordnung transformieren.
>
> Vielen Dank schon mal für jede (noch so kleine) Hilfe.
>
> Beste Grüße, Jonathan
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
MathePower
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