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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2. Ordnung
DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 2. Ordnung: Anfangswertprobleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Mo 27.10.2008
Autor: maureulr

Aufgabe
y"+9y=sin(3x) , y(0)=1 , y'(0)=0

homogene :

t²+9=0

t=+- 3i  --> y0=c1*e^(3i)x + c2*e(-3i)x

inhomogene :

yp=sin(3x)

Ansatz :

yp=a*sin(3x)+b*cos(3x)
y'p= 3acos(3x)-3b*sin(3x)
y"p= -9asin(3x)-9bcos(3x)

einsetzen :

-9asin(3x)-9bcos(3x)+9asin(3x)+9bcos(3x)=sin(3x)

Vergleich k.:

-9a+9a = 1  --> a= ???
-9b+9b = 0  --> b=1

Wie komme ich dort weiter ? Könnte mir freundlicherweise jemand helfen ??? habe ich einen verkehrten ansatz gewählt oder verkehrt abgeleitet ???

Mfg Ulli

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mo 27.10.2008
Autor: Herby

Hallo Ulli,

und recht herzlich [willkommenmr]


Mit dem Ansatz [mm] y_p=\red{x}*(a*\sin(3x)+b*\cos(3x)) [/mm] sollte diese DGL lösbar sein.

Begründung: deine Störfunktion lautet allgemein [mm] y=\sin(\beta*x) [/mm]

Sollte nun [mm] i*\beta [/mm] eine Lösung (wie es bei dir ja der Fall ist) der charakteristischen Gleichung sein, so muss der Ansatz [mm] y_p=.... [/mm] mit x multipliziert werden.


Liebe Grüße
Herby
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DGL 2. Ordnung: Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Di 28.10.2008
Autor: maureulr

Aufgabe
Ansatz :

yp=x(a*sin(3x)+b*cos(3x) )

y'p=a*sin(3x)+b*cos(3x) + x*(3a*cos(3x)-3b*sin(3x))

y"p=6a*cos(3x)-6b*sin(3x)+x*(-9a*sin(3x)-9b*cos(3x))

y"p+9yp=sin(3x)

-> 6a*cos(3x)-6b*sin(3x)-9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x))+9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x)) =1* sin (3x)+0*cos(3x)

kürzen :  

->6a*cos(3x)-6b*sin(3x) = 1*sin(3x)+0*cos(3x)

Koeffizientenvergleich :

6a*cos(3x) = 0*cos(3x)   und       -6b*sin (3x) = 1*sin (3x)

6a = 0  --> a = 0  (für cos(3x)) ;   -6b = 1  --> b=-1/6 (für sin (3x))

yp=-1/6*sin(3x)


y=y0+yp=c1*e^(3i)x + c2*e^(-3i)x - (1/6) * sin (3x)

y(0)=1 --> 1= c1 + c2  --> c1 = 1 - c2

y'(0)=0 --> c1 = c2 + (1/9i)

=> c1 = 1/2 + (1/18)*i  
=> c2 = 1/2 - (1/18)*i

einsetzen in y :

y= [( 1/2 + (1/18)i )*e^(3i)x] + [( 1/2 - (-1/18)i )*e^(-3i)x] - [1/6 * sin (3x)]

Schönen Dank für die schnelle Antwort !!!

Ich habe jetzt mal durchgerechnet und die folgende Lsg. rausbekommen !

Ist diese so richtig ?

Soll man diese weiter auflösen oder kann man die Lsg. stehen lassen !?


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DGL 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Di 28.10.2008
Autor: Herby


Hallo,

das schaue ich mir morgen früh an - heute nicht mehr [saumuede]


Liebe Grüße
Herby
Bezug
                                
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DGL 2. Ordnung: Alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:58 Mi 29.10.2008
Autor: maureulr

bin gegen mittag wieder online
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Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Mi 29.10.2008
Autor: Herby

Hallo Ulli,


> Ansatz :
>  
> yp=x(a*sin(3x)+b*cos(3x) )
>  
> y'p=a*sin(3x)+b*cos(3x) + x*(3a*cos(3x)-3b*sin(3x))
>  
> y"p=6a*cos(3x)-6b*sin(3x)+x*(-9a*sin(3x)-9b*cos(3x))

[daumenhoch]  sieht gut aus

> [mm] y_p"+9y_p=sin(3x) [/mm]
>  
> ->
> 6a*cos(3x)-6b*sin(3x)-9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x))+9x*(a*sin(3x)+b*cos(3x))
> =1* sin (3x)+0*cos(3x)

[ok]

> kürzen :  

eher zusammenfassen ;-)


> ->6a*cos(3x)-6b*sin(3x) = 1*sin(3x)+0*cos(3x)

ja!

> Koeffizientenvergleich :
>  
> 6a*cos(3x) = 0*cos(3x)   und       -6b*sin (3x) = 1*sin
> (3x)
>  
> 6a = 0  --> a = 0  (für cos(3x)) ;   -6b = 1  --> b=-1/6
> (für sin (3x))
>  
> [mm] y_p=-1/6*sin(3x) [/mm]

[daumenhoch] auch ok


>
> y=y0+yp=c1*e^(3i)x + c2*e^(-3i)x - (1/6) * sin (3x)

das ist nicht so gut. Es war [mm] \lambda_{1,2}=\pm3i [/mm]  -- daraus ergibt sich für [mm] y_0=C_1*sin(3x)+C_2*cos(3x) [/mm]


Erläuterung:

wenn [mm] \lambda_{1,2}=\red{\alpha}\pm\green{\beta}*i [/mm] Lösungen der charakteristischen Gleichung sind, dann bilden:

[mm] y_1=e^{\red{\alpha}x}*sin(\green{\beta}x)\quad und\quad y_2=e^{\red{\alpha}x}*cos(\green{\beta}x) [/mm]

eine Fundamentalbasis (kannst du über die Wronski-Determinante nachprüfen), deshalb ist:

[mm] y_0=e^{\red{\alpha}x}*\left[C_1*sin(\green{\beta}x)+C_2*cos(\green{\beta}x)\right] [/mm] eine allgemeine Lösung.

---

bei dir ist:

[mm] \red{\alpha}=0 [/mm] und [mm] \green{\beta}=3 [/mm] -- das ergibt

[mm] y_0=e^{\red{0}x}*\left[C_1*sin(\green{3}x)+C_2*cos(\green{3}x)\right] [/mm]

[mm] y_0=C_1*sin(3x)+C_2*cos(3x) [/mm]

Der Rest ist nur noch stumpfsinniges Einsetzen :-)


Ich erhalte: [mm] y=1*cos(3x)+\bruch{1}{2}*sin(3x)-\bruch{1}{6}*sin(3x) [/mm] also

[mm] y=cos{3x}+\bruch{1}{3}*sin(3x) [/mm]


Liebe Grüße
Herby
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DGL 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Mi 29.10.2008
Autor: maureulr

besten dank für die Hilfe
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