DGL 1. Ordnung mit Anfangswert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Fr 28.01.2011 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $y'=x^2*y^3$
$y(0)=1$ |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe versucht durch Trennung der Variablen zu lösen:
$y'=x^2*y^3$
$\bruch{dy}{dx}=x^2*y^3$
$\bruch{dy}{y^3}=x^2*dx$
$\rightarrow$
$\integral {\bruch{1}{y^3} dy}=\integral {x^2 dx}$
$-\bruch{1}{2y^2}+c_1=\bruch{1}{3}x^3+c_2$
$-\bruch{1}{2y^2}=-\bruch{1}{3}x^3+c_3$
Hier jetzt meine erste Frage.
Gehe ich mit den Konstanten richtig um? Also ich habe quasi die Konstante $c_1$ von der linken Seite abgezogen und gesagt: $c_3=c_2-c_1$
Kann man das so machen? Weiter würde es dann so gehen:
$\bruch{1}{y^2}=-\bruch{2}{3}x^3-2c_3$
$y^2=\bruch{1}{-\bruch{2}{3}x^3-2c_3}$
$y=\pm \bruch{1}{\wurzel{-\bruch{2}{3}x^3-2*c_3}}
Jetzt rechne ich $c_3$ mit Hilfe meines Anfangswerts aus:
$1=\pm \bruch{1}{\wurzel{-2c_3}$
$1=\bruch{1}{-2c_3}$
(Ist es richtig, dass das "$\pm$" durch das quadrieren verschwindet?)
$c_3=-0,5$
In mein Ergebnis von oben eingesetzt ergibt sich:
$y=\pm \bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{2}{3}x^3}}$
Ich bin mir irgendwie unsicher mit den Vorzeichen, gerade bei meinem Endergebnis kommt mir das irgendwie komisch vor...
Vielen Dank und lg!
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Hallo nhard,
> [mm]y'=x^2*y^3[/mm]
> [mm]y(0)=1[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe versucht durch Trennung der
> Variablen zu lösen:
>
> [mm]y'=x^2*y^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=x^2*y^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y^3}=x^2*dx[/mm]
für [mm] $y\neq [/mm] 0$
>
>
> [mm]\rightarrow[/mm]
>
> [mm]\integral {\bruch{1}{y^3} dy}=\integral {x^2 dx}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2y^2}+c_1=\bruch{1}{3}x^3+c_2[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2y^2}=-\bruch{1}{3}x^3+c_3[/mm]
Wieso [mm] $\red{-}{\frac{1}{3}x^3}$ [/mm] ?
Du kannst bei der unbestimmten Integratio nauf beiden Seiten die Integrationskonstanten linker- und rechterhand direkt zu einer, sagen wir $c$ rechterhand zusammenfassen, also
[mm] $-\frac{1}{2y^2} [/mm] \ = \ [mm] -\frac{1}{3}x^3+c$
[/mm]
>
> Hier jetzt meine erste Frage.
> Gehe ich mit den Konstanten richtig um? Also ich habe
> quasi die Konstante [mm]c_1[/mm] von der linken Seite abgezogen und
> gesagt: [mm]c_3=c_2-c_1[/mm]
> Kann man das so machen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, nur das "-" oben vor dem [mm] $\frac{1}{3}x^3$ [/mm] ist komisch
> Weiter würde es dann so gehen:
>
> [mm]\bruch{1}{y^2}=-\bruch{2}{3}x^3-2c_3[/mm]
Hier stimmt's wieder 
>
> [mm]y^2=\bruch{1}{-\bruch{2}{3}x^3-2c_3}[/mm]
>
> [mm]$y=\pm \bruch{1}{\wurzel{-\bruch{2}{3}x^3-2*c_3}}[/mm]
>
> Jetzt rechne ich [mm]c_3[/mm] mit Hilfe meines Anfangswerts aus:
>
> [mm]1=\pm \bruch{1}{\wurzel{-2c_3}[/mm]
>
> [mm]1=\bruch{1}{-2c_3}[/mm]
>
> (Ist es richtig, dass das "[mm]\pm[/mm]" durch das quadrieren
> verschwindet?)
Nun, da der Anfangswert $y(0)=1>0$ ist und die Wurzel nur nicht-negative Werte ausspuckt, kommt eh nur dir Lösung [mm] $y=\red{+}\sqrt{...}$ [/mm] in Frage.
Konkret für $y(0)=1$ dann mit deinem [mm] $c_3$
[/mm]
>
> [mm]c_3=-0,5[/mm]
>
> In mein Ergebnis von oben eingesetzt ergibt sich:
>
> [mm]y=\pm \bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{2}{3}x^3}}[/mm]
Nur "+" !
Sonst wird doch der Wert $y(0)=1$ nicht angenommen!
Du kannst selber testen, ob deine Lösung stimmt, setze in die Dgl ein.
Gib auch den Definitionsbereich an, das gehört dazu ...
>
> Ich bin mir irgendwie unsicher mit den Vorzeichen, gerade
> bei meinem Endergebnis kommt mir das irgendwie komisch
> vor...
>
> Vielen Dank und lg!
>
Gruß
schachuzipus
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