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| Aufgabe | [mm] $\bruch{dy}{dx}=\bruch{\wurzel{x^2+y^2}}{dx}$
[/mm]
(wahrscheinliche) Lösung:
[mm] $y\wurzel{x^2+y^2}+x^2ln\left[y+\wurzel{x^2+y^2} \right]+y^2-3x^2ln(x)-Cx^2=0$ [/mm] |
Hallo,
ich habe Verständnisschwierigkeiten bei obiger Aufgabe. Wie habe ich das Differential dx im Nenner rechts zu verstehen?
Ich habe gedacht, man müsse nur beide Seiten von
[mm] $dy=\wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
integrieren, aber wie ginge das bei der rechten Seite? Würde man x als Konstante betrachten und die Wurzel nach dy integrieren, so bekommt man die ersten beiden Summanden der Lösung. Aber wie kommt man auf die restlichen Summanden?
Vielen Dank für eine Antwort im Voraus.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 22.02.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{\wurzel{x^2+y^2}}{dx}[/mm]
Ist das die Originalaufgabe???
daraus könnte man ja [mm] dy=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] folgern. Und damit kann ich nun gar nichts anfangen....
Gruß Abakus
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> (wahrscheinliche) Lösung:
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> [mm]y\wurzel{x^2+y^2}+x^2ln\left[y+\wurzel{x^2+y^2} \right]+y^2-3x^2ln(x)-Cx^2=0[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe Verständnisschwierigkeiten bei obiger Aufgabe. Wie
> habe ich das Differential dx im Nenner rechts zu
> verstehen?
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> Ich habe gedacht, man müsse nur beide Seiten von
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> [mm]dy=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> integrieren, aber wie ginge das bei der rechten Seite?
> Würde man x als Konstante betrachten und die Wurzel nach dy
> integrieren, so bekommt man die ersten beiden Summanden der
> Lösung. Aber wie kommt man auf die restlichen Summanden?
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> Vielen Dank für eine Antwort im voraus.
>
> LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 So 22.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Abakus,
ja, das ist die Originalaufgabe.
Ich habe auch schon an einen Druckfehler gedacht und das dx im Nenner ignoriert und eine Substitution [mm] $x^2+y^2=v^2$ [/mm] probiert - aber das ging auch nicht.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{\wurzel{x^2+y^2}}{dx}[/mm]
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> (wahrscheinliche) Lösung:
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> [mm]y\wurzel{x^2+y^2}+x^2ln\left[y+\wurzel{x^2+y^2} \right]+y^2-3x^2ln(x)-Cx^2=0[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe Verständnisschwierigkeiten bei obiger Aufgabe. Wie
> habe ich das Differential dx im Nenner rechts zu
> verstehen?
>
> Ich habe gedacht, man müsse nur beide Seiten von
>
> [mm]dy=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> integrieren, aber wie ginge das bei der rechten Seite?
> Würde man x als Konstante betrachten und die Wurzel nach dy
> integrieren, so bekommt man die ersten beiden Summanden der
> Lösung. Aber wie kommt man auf die restlichen Summanden?
Nun Du hast:
[mm]F\left(x,y\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{x^{2}+y^{2}}\ dy }+K[/mm]
mit [mm]K=\varphi\left(x\right)[/mm]
Nun differenziere dies nach x.
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> Vielen Dank für eine Antwort im Voraus.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine Antwort
> Nun Du hast:
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> [mm]F\left(x,y\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{x^{2}+y^{2}}\ dy }+K[/mm]
>
> mit [mm]K=\varphi\left(x\right)[/mm]
>
> Nun differenziere dies nach x.
Ich probiere mal:
[mm]F(x,y)=\integral{ \wurzel{x^{2}+y^{2}}\ dy }+\varphi(x)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$F(x,y)=y\wurzel{x^2+y^2}+x^2ln\left(y+\wurzel{x^2+y^2}\right)+\varphi(x) \right)$
$\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}+2xln\left(y+\wurzel{x^2+y^2}\right)+\bruch{2x^3}{y*\wurzel{x^2+y^2}+x^2+y^2}+\varphi'(x)$
Dann müsste das da ja eine exakte DGL sein:
$\wurzel{x^{2}+y^{2}}dy+\left(\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}+2xln\left(y+\wurzel{x^2+y^2}\right)+\bruch{2x^3}{y*\wurzel{x^2+y^2}+x^2+y^2}+\varphi'(x) \right)dx=0 $
Aber wie geht es jetzt weiter?
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo MathePower,
>
> Vielen Dank für deine Antwort
>
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> > Nun Du hast:
> >
> > [mm]F\left(x,y\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{x^{2}+y^{2}}\ dy }+K[/mm]
>
> >
> > mit [mm]K=\varphi\left(x\right)[/mm]
> >
> > Nun differenziere dies nach x.
>
>
> Ich probiere mal:
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> [mm]F(x,y)=\integral{ \wurzel{x^{2}+y^{2}}\ dy }+\varphi(x)[/mm]
>
> [mm]F(x,y)=y\wurzel{x^2+y^2}+x^2ln\left(y+\wurzel{x^2+y^2}\right)+\varphi(x) \right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}+2xln\left(y+\wurzel{x^2+y^2}\right)+\bruch{2x^3}{y*\wurzel{x^2+y^2}+x^2+y^2}+\varphi'(x)[/mm]
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> Dann müsste das da ja eine exakte DGL sein:
>
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}dy+\left(\bruch{xy}{\wurzel{x^2+y^2}}+2xln\left(y+\wurzel{x^2+y^2}\right)+\bruch{2x^3}{y*\wurzel{x^2+y^2}+x^2+y^2}+\varphi'(x) \right)dx=0[/mm]
>
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> Aber wie geht es jetzt weiter?
>
Ich habe mir dazu meine Gedanken gemacht.
Schreibe mal diese Gleichung etwas um:
[mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{dx} \Rightarrow \bruch{dy}{dx} \ dx = \wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
Wir wissen wohl, daß es sich um eine Funktion von zwei Variablen handeln muß.
[mm]F\left(x,y\right)[/mm]
Daraus ergibt sich das vollständige Differential zu
[mm]dF= \bruch{\partial F}{\partial x} \ dx +\bruch{\partial F}{\partial y} \ dy[/mm]
Nun haben ist aber y eine Funktion von x.
Damit ergibt sich [mm]y=y\left(x\right) \Rightarrow dy = y' \ dx[/mm]
So soweit so gut.
Einerseits ist
[mm]dF= \bruch{\partial F}{\partial x} \ dx +\bruch{\partial F}{\partial y} \ dy=0 \ dx + dy=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
Setzt man hier dx = dy = 1, so ergeben sich die folgenden Gleichungen:
[mm]\left(1\right) \ \bruch{\partial F}{\partial x}=0[/mm]
[mm]\left(2\right) \ \bruch{\partial F}{\partial y}=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
Nun haben wir aber noch eine dritte Gleichung:
Diese ergibt sich aus
[mm]\bruch{\partial F}{\partial y}*\bruch{dy}{dx}=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
Da [mm]\bruch{\partial F}{\partial y}=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] bleibt nur noch die Gleichung
[mm]\left(3\right) \ \bruch{dy}{dx}=1[/mm]
übrig.
Dieses System aus 3 Gleichungen ist dann zu lösen.
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> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Sa 07.03.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine Bemühungen!
Leider kann ich nicht ganz folgen - das macht aber nix, ich bin ja nicht in einem Studium oder so, muss also die Aufgabe nicht unbedingt lösen.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:47 Di 24.02.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo MathePower,
> > [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{\wurzel{x^2+y^2}}{dx}[/mm]
> >
> >
> > (wahrscheinliche) Lösung:
> >
> > [mm]y\wurzel{x^2+y^2}+x^2ln\left[y+\wurzel{x^2+y^2} \right]+y^2-3x^2ln(x)-Cx^2=0[/mm]
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> >
> > Hallo,
> >
> > ich habe Verständnisschwierigkeiten bei obiger Aufgabe. Wie
> > habe ich das Differential dx im Nenner rechts zu
> > verstehen?
> >
> > Ich habe gedacht, man müsse nur beide Seiten von
> >
> > [mm]dy=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
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> > integrieren, aber wie ginge das bei der rechten Seite?
> > Würde man x als Konstante betrachten und die Wurzel nach dy
> > integrieren, so bekommt man die ersten beiden Summanden der
> > Lösung. Aber wie kommt man auf die restlichen Summanden?
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> Nun Du hast:
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> [mm]F\left(x,y\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{x^{2}+y^{2}}\ dy }+K[/mm]
Warum steht jetzt das dy hinter der Wurzel, wenn doch oben gesagt wurde, dass [mm] dy=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] ist (großes Fragezeichen).
Viele Grüße
Smarty
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