DGL 1.Ordnung mit Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme:
3.
y' = [mm] \wurzel{3x + 4y -1} [/mm] -3 , y(0) = 4 |
Hallo,
ich scheiter hier wieder an einer Dgl, die ich mittels Substitution lösen wollte.
Mein bisheriger Rechenweg:
y' = [mm] \wurzel{3x + 4y -1} [/mm] -3
u = 3x + 4y -1
u' = 3 + 4y'
u' = 3 + 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 4 * 3
u' = 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 9
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 9
So mein Problem ist jetzt, dass wenn ich dx auf die rechte Seite bringe, ich [mm] \wurzel{u} [/mm] nicht mehr nach links bringen kann und andersrum um danach zu integrieren:
du = (4 [mm] \wurzel{u} [/mm] - 9) dx
Wenn ich versuche es in diese Form zu bringen y' + a(x)y = b(x), habe ich noch eine wurzel um y, also :
u' - 4 [mm] \wurzel{u} [/mm] = -9
und ich glaube nicht, dass ich hier die Formel [mm] (\integral{b(x)*e^{A(x)} dx} [/mm] + K) * [mm] e^{-A(x)} [/mm] benutzen darf, da ich [mm] \wurzel{y} [/mm] habe anstatt nur y.
Jede Hilfe ist gerne gesehen.
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Ulquiorra,
Diese DGL: [mm] $y'\;=\; \wurzel{3x + 4y -1}-3 [/mm] $ lässt sich lösen durch die Substitution: [mm] $u\;=\; \wurzel{3x + 4y -1} [/mm] $ .
[mm] $u^2\;=\: [/mm] 3x + 4y -1 $
[mm] $4y\;=\;u^2-3x+1$
[/mm]
[mm] $y\;=\;\frac{u^2-3x+1}{4}$ [/mm] differenzieren nach x:
[mm] $y'\;=\;\frac{2*u*u'-3}{4}$ [/mm] einsetzen in die DGL:
[mm] $\frac{2*u*u'-3}{4}\;=\;u-3$
[/mm]
[mm] $2*u*u'-3\;=\; [/mm] 4u-12$
[mm] $2*u*u'\;=\; [/mm] 4u-9$
[mm] $u'\;=\;\frac{4u-9}{2u}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{2u}{4u-9}\; [/mm] du [mm] \;=\; \int [/mm] dx$
[mm] $\frac{u}{2}+\frac{9}{8}*ln|4u-9|\;=\; [/mm] x+C$ resubstituieren:
[mm] $\frac{\wurzel{\;3x+4y-1\;}}{2}+\frac{9*ln\;|\;4*\wurzel{\; 3x + 4y -1\;}-9\;|}{8}\;=\; [/mm] x+C$
Leider keine explizite Lösung.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mi 05.07.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Berechnen Sie die Lösung der folgenden
> Anfangswertprobleme:
>
> 3.
> y' = [mm]\wurzel{3x + 4y -1}[/mm] -3 , y(0) = 4
> Hallo,
> ich scheiter hier wieder an einer Dgl, die ich mittels
> Substitution lösen wollte.
> Mein bisheriger Rechenweg:
> y' = [mm]\wurzel{3x + 4y -1}[/mm] -3
>
> u = 3x + 4y -1
>
> u' = 3 + 4y'
>
> u' = 3 + 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 4 * 3
>
> u' = 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 9
>
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 9
>
> So mein Problem ist jetzt, dass wenn ich dx auf die rechte
> Seite bringe, ich [mm]\wurzel{u}[/mm] nicht mehr nach links bringen
> kann und andersrum um danach zu integrieren:
>
> du = (4 [mm]\wurzel{u}[/mm] - 9) dx
Alternativ kann man hier durch [mm] $(4\sqrt{u}-9)$ [/mm] teilen und dann beide Seiten integrieren ;)
>
> Wenn ich versuche es in diese Form zu bringen y' + a(x)y =
> b(x), habe ich noch eine wurzel um y, also :
>
> u' - 4 [mm]\wurzel{u}[/mm] = -9
>
> und ich glaube nicht, dass ich hier die Formel
> [mm](\integral{b(x)*e^{A(x)} dx}[/mm] + K) * [mm]e^{-A(x)}[/mm] benutzen
> darf, da ich [mm]\wurzel{y}[/mm] habe anstatt nur y.
> Jede Hilfe ist gerne gesehen.
>
> Gruß
|
|
|
|
