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| Aufgabe | Beispiel: Gegeben ist die Ellipsenschar [mm] \bruch{x^{2}}{2C}+\bruch{y^{2}}{C}=1 [/mm] , C>0 ; gesucht ist die Dgl ihrer Orthogonaltrajektorien.
Aus der Schargleichung ergibt sich [mm] x^{2}+2y^{2}=2C [/mm] ;
implizite Differenziation liefert die Dgl der Schar: 2x+4yy'=0, oder, für [mm] y\not=0, y'=-\bruch{x}{2y}.
[/mm]
Die Dgl der Orthogonaltrajektorien ist also [mm] y'=\bruch{2y}{x} [/mm] |
Hallo,
ich hätte ein Frage zum Beispiel:
Wie kommt man von [mm] x^{2}+2y^{2}=2C [/mm] zu 2x+4yy'=0 ? Hier wird nach x und y differenziert und so kommt das 2x und 4y zustande und die konstante fällt weg, aber woher kommt das y' ?
[mm] y(x,y)=x^{2}+2y^{2}-2C
[/mm]
y'(x,y)=2x+4y
???
Danke vorab.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Beispiel: Gegeben ist die Ellipsenschar
> [mm]\bruch{x^{2}}{2C}+\bruch{y^{2}}{C}=1[/mm] , C>0 ; gesucht ist
> die Dgl ihrer Orthogonaltrajektorien.
>
> Aus der Schargleichung ergibt sich [mm]x^{2}+2y^{2}=2C[/mm] ;
>
> implizite Differenziation liefert die Dgl der Schar:
> 2x+4yy'=0, oder, für [mm]y\not=0, y'=-\bruch{x}{2y}.[/mm]
>
> Die Dgl der Orthogonaltrajektorien ist also
> [mm]y'=\bruch{2y}{x}[/mm]
> Hallo,
> ich hätte ein Frage zum Beispiel:
>
> Wie kommt man von [mm]x^{2}+2y^{2}=2C[/mm] zu 2x+4yy'=0 ? Hier
> wird nach x und y differenziert und so kommt das 2x und 4y
Nein, hier wird nur nach x abgeleitet.
Da y von x abhängt, muss [mm] (y)^2 [/mm] nach Kettenregel abgeleitet werden.
Die äußere Ableitung von [mm] y^2 [/mm] ist 2y, und die innere Ableitung, also die Ableitung von y, ist y'.
Gruß Abakus
> zustande und die konstante fällt weg, aber woher kommt das
> y' ?
>
> [mm]y(x,y)=x^{2}+2y^{2}-2C[/mm]
>
> y'(x,y)=2x+4y
>
> ???
>
> Danke vorab.
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> > Beispiel: Gegeben ist die Ellipsenschar
> > [mm]\bruch{x^{2}}{2C}+\bruch{y^{2}}{C}=1[/mm] , C>0 ; gesucht ist
> > die Dgl ihrer Orthogonaltrajektorien.
> >
> > Aus der Schargleichung ergibt sich [mm]x^{2}+2y^{2}=2C[/mm] ;
> >
> > implizite Differenziation liefert die Dgl der Schar:
> > 2x+4yy'=0, oder, für [mm]y\not=0, y'=-\bruch{x}{2y}.[/mm]
> >
> > Die Dgl der Orthogonaltrajektorien ist also
> > [mm]y'=\bruch{2y}{x}[/mm]
> > Hallo,
> > ich hätte ein Frage zum Beispiel:
> >
> > Wie kommt man von [mm]x^{2}+2y^{2}=2C[/mm] zu 2x+4yy'=0 ? Hier
> > wird nach x und y differenziert und so kommt das 2x und 4y
> Nein, hier wird nur nach x abgeleitet.
> Da y von x abhängt, muss [mm](y)^2[/mm] nach Kettenregel
> abgeleitet werden.
> Die äußere Ableitung von [mm]y^2[/mm] ist 2y, und die innere
> Ableitung, also die Ableitung von y, ist y'.
> Gruß Abakus
Wenn es nach x-abgeleitet wird, muss der zweite Term auch wegfallen und wir hätten:
[mm] f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-2C
[/mm]
f'(x,y)=2x
> > zustande und die konstante fällt weg, aber woher kommt
> das
> > y' ?
> >
> > [mm]y(x,y)=x^{2}+2y^{2}-2C[/mm]
> >
> > y'(x,y)=2x+4y
> >
> > ???
> >
> > Danke vorab.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 09.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo monstre
Du versthst was falsch. da stand doch nicht y ist eine konstante, sondern y ist ne Funktion von x, also y ist nur ne Abkürzung für y(x)
Schreib vielleicht statt y lieber f(x)
dann hast du statt $ [mm] x^{2}+2y^{2}=2C [/mm] $
$ [mm] x^{2}+2*f^{2}(x)=2C [/mm] $
spätesten jetz solltest du merken , wie man das ableitet.
die Ableitung von [mm] f^2(x) (f^2(x))'=2f(x)*f'(x) [/mm] nach Kettenregel solltest du wissen.
Gruss leduart
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