DGL. 2. Ordnung mit Störung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Di 16.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
| Aufgabe | | [mm] $y''-3y'+2y=\frac{1}{1+e^{-x}}$ [/mm] |
Huhu.
Ich habe hier obige Dgl 2. Ordnung. Mein Frage dazu ist, wie ich auf die spezielle Lsg der inhomogenen Gleichung komme?
Wäre gut, wenn ihr mir ein paar Tipps geben könnt, wie man bei (beliebigen) Störungsfunktionen Lsg. findet.
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Hallo Baumkind,
> [mm]y''-3y'+2y=\frac{1}{1+e^{-x}}[/mm]
> Huhu.
> Ich habe hier obige Dgl 2. Ordnung. Mein Frage dazu ist,
> wie ich auf die spezielle Lsg der inhomogenen Gleichung
> komme?
> Wäre gut, wenn ihr mir ein paar Tipps geben könnt, wie
> man bei (beliebigen) Störungsfunktionen Lsg. findet.
Bei einer DGL 2. Ordnung bietet sich zunächst an,
diese in ein System von DGLn 1. Ordnung umzuwandeln,
damit dann für das inhomogene System, die Methode der
Variation der Konstanten angewendet werden kann.
Natürlich muss zunächst die Lösung des
homogenen Systems bestimmt werden.
Gruss
MathePower
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gibt drei gängige methoden:
wie schon erwähnt variation der konstanten,
d'alembertsches reduktionsverfahren,
oder mein favorit ansatzmethode ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 16.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
Also als System 1. Ordnung sieht das dann so aus:
[mm] $$\vektor{y'_1 \\ y'_2}=\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }\cdot \vektor{y_1 \\ y_2}+\vektor{0 \\ \frac{1}{1+e^{-x}}}$$
[/mm]
Mit homogener Lsg.:
[mm] $y_{hom}=C\cdot \exp(x\cdot \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 })$ [/mm] mit C 2x2-Matrix.
(Habe jetzt exp(..) nicht extra ausgeschrieben, ist nicht so nen schöner Ausdruck).
Wie genau fkt. jetzt hier Variation der Konstanten?
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Hallo Baumkind,
> Also als System 1. Ordnung sieht das dann so aus:
> [mm]\vektor{y'_1 \\ y'_2}=\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }\cdot \vektor{y_1 \\ y_2}+\vektor{0 \\ \frac{1}{1+e^{-x}}}[/mm]
>
> Mit homogener Lsg.:
> [mm]y_{hom}=C\cdot \exp(x\cdot \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 })[/mm] mit C
> 2x2-Matrix.
> (Habe jetzt exp(..) nicht extra ausgeschrieben, ist nicht
> so nen schöner Ausdruck).
> Wie genau fkt. jetzt hier Variation der Konstanten?
Dazu sei die Lösung des obigen homogenen Systems gegeben durch
[mm]\pmat{y_{h1} \\ y_{h2}}=C_{1}*v_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+C_{2}*v_{2}*e^{\lambda_{2}*x}[/mm]
,wobei [mm]v_{1}[/mm] der Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{1}[/mm]
und [mm]v_{2}[/mm] der Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{2}[/mm]
bedeuten.
Die Variation der Konstanten sagt jetzt,
mache die Konstanten von x abhängig.
Dann lautet der Ansatz:
[mm]\pmat{y_{p1} \\ y_{p2}}=C_{1}\left(x\right)*v_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+C_{2}\left(x\right)*v_{2}*e^{\lambda_{2}*x}[/mm]
Diesen setzt Du jetzt in das inhomogene System ein.
Dann erhältst Du ein Gleichungssystem für [mm]C_{1}', \ C_{2}'[/mm]
Gruss
MathePower
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ganz genau .... und dann kann man es einfach mit zb der cramerschen regel lösen ... kommt ein langes ergebnis raus ...
weisst du, MathePower, wie ein ansatz für $1/(1+exp(x)$ gehen könnte?
ich habs auch nur mt variation der konstanten lösen können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Di 16.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
Ich habe jetzt: [mm] $C_1(x)=ln(e^x+1)-x-\frac{1}{e^x}$ [/mm] und [mm] $C_2(x)=0$.
[/mm]
Scheint aber falsch zu sein, denn die Probe stimmt bei mir nicht....
Kurz noch zu meinem Weg:
Ich habe [mm] $y_p$ [/mm] in [mm] $y'=A\cdot [/mm] y +b$ eingesetzt, dann [mm] $y'_p-A\cdot y_p=b$ [/mm] betrachtet, so kam ich auf obige Lsg.
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mein [mm] C_2 [/mm] ist x-ln(exp(x)+1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
Das habe ich jetzt auch raus. Danke für die Hilfe.
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