DGL- integrierender Faktor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Differentialgleichung [mm] tx^3+(1+2t^2 x^2) \frac{dx}{dt}=0, [/mm] x=x(t).
(a) Man finde einen integrierenden Faktor f, der nur von x abhängt und löse damit die DGL.
(b) Wir betrachten die Umkehrfunktion t=t(x) einer gesuchten Lösung x(t). Man beweise, dass t(x) die DGL [mm] \frac{dt}{dx}+\frac{2}{x}t(x) [/mm] = [mm] -\frac{1}{x^3}t^{-1}(x) [/mm] erfüllt, die vom Bernoulli-Typ ist. Man löse damit nochmals die ursprüngliche DGL. |
Hallo an alle.
Ich muss zugeben, ich bin ein wenig ratlos was diese beiden Teilaufgaben betrifft. Ich verstehe schon nicht, was der integrierende Faktor sein soll und daher schon gar nicht, wie man diesen finden soll um damit eine DGL zu lösen.
Ich denke, dies muss ich wissen, um überhaupt erst weitere Fragen stellen zu können.
Beste Grüße.
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Hallo RoughNeck,
zu a)
Deine DGL: $ [mm] tx^3+(1+2t^2 x^2) \frac{dx}{dt}=0 [/mm] $
[mm] $(t*x^3)\;dt+(1+2t^2 x^2)\; dx\;=\;0, [/mm] $
[mm] $M(t,x)\;dt+N(t,x)\;dx\;=\;0$
[/mm]
mit [mm] $M_x\;=\;\frac{\partial\;M}{\partial\;x}\;=\;3*t*x^2$ [/mm] und [mm] $N_t\;=\;\frac{\partial\;N}{\partial\;t}\;=\;4*t*x^2$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{M}*\left(M_x - N_t \right)\;=\;\frac{-tx^2}{tx^3}\;=\;\frac{-1}{x}$ [/mm] eine Funktion von x allein.
Daher: [mm] $I(x)\;=\;exp\left(\int \frac{1}{x} \right)\;=\; [/mm] x$
Nun multipliziert man die Ausgangs-DGL mit dem integrierenden Faktor:
[mm] $(t*x^4)\;dt+(x+2*t^2* x^3)\;dx=0 [/mm] $ (Prüfe auf Exaktheit.)
[mm] $\int (t*x^4)\;dt\;=\;\frac{1}{2}*t^2*x^4+f(x)$
[/mm]
[mm] $\int (x+2*t^2*x^3)\;dx\;=\;\frac{1}{2}*x^2+\frac{1}{2}*t^2*x^4+g(t)$
[/mm]
[mm] $f(x)\;=\;\frac{1}{2}*x^2$ [/mm] und [mm] $g(t)\;=\;0$
[/mm]
Daher: [mm] $F(t,x)\;=\;\frac{1}{2}*x^2+\frac{1}{2}*t^2*x^4\;=\;C$
[/mm]
Irrtum vorbehalten.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Fr 24.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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