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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL-Lösung auflösen nach y(x)
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DGL-Lösung auflösen nach y(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Fr 20.04.2012
Autor: NightmareVirus

Aufgabe
Man bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

[mm]y' = 9y^2-4[/mm]

Hi hänge bei der Auflösung dieser DGL fest.
Habe mittels Integration die Gleichung soweit umformen können, so dass ich weiss dass

[mm]y' = 9y^2-4 \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}[/mm]

gilt. Doch wie löse ich das ganze nun nach [mm]y(x)[/mm] auf? Meine erste Idee auf beiden Seiten -1 zu rechnen und zwar in der Form

[mm]\bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c} \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} - \bruch{2+3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}-1 \gdw \bruch{-6y(x)}{2+3y(x)}= e^{12x+c}-1[/mm]

hilft mir auch nicht wirklich weiter.
Für die passende Umformung wäre ich sehr dankbar ;)




        
Bezug
DGL-Lösung auflösen nach y(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Fr 20.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo NV,


> Man bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
>  
> [mm]y' = 9y^2-4[/mm]
>  Hi hänge bei der Auflösung dieser DGL fest.
>  Habe mittels Integration die Gleichung soweit umformen
> können, so dass ich weiss dass
>  
> [mm]y' = 9y^2-4 \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}[/mm]

Hmm, ich komme da auf [mm] $\frac{y-2/3}{y+2/3}=\tilde c\cdot{}e^{12x}$ [/mm]


>  
> gilt. Doch wie löse ich das ganze nun nach [mm]y(x)[/mm] auf? Meine
> erste Idee auf beiden Seiten -1 zu rechnen und zwar in der
> Form
>  
> [mm]\bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c} \gdw \bruch{2-3y(x)}{2+3y(x)} - \bruch{2+3y(x)}{2+3y(x)} = e^{12x+c}-1 \gdw \bruch{-6y(x)}{2+3y(x)}= e^{12x+c}-1[/mm]
>  
> hilft mir auch nicht wirklich weiter.
>  Für die passende Umformung wäre ich sehr dankbar ;)

Nun, in deiner (oder meiner ;-)) Lösung multipliziere mit dem Nenner durch, dann rechterhand ausmultiplizieren, alles mit y auf die linke Seite, alles ohne y nach rechts und dann linkerhand y ausklammern und durch den "Klammerrest" teilen, um y freizustellen

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
DGL-Lösung auflösen nach y(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Fr 20.04.2012
Autor: NightmareVirus

Nun gut deine Lösung der DGL ist offensichtlich die gleiche, denn

[mm]\bruch{y-\bruch{2}{3}}{y+\bruch{2}{3}} \;=\; \bruch{\bruch{3y}{3}-\bruch{2}{3}}{\bruch{3y}{3}+\bruch{2}{3}} \;=\; \bruch{\bruch{3y-2}{3}}{\bruch{3y+2}{3}} \;=\; \bruch{3y-2}{3y+2}[/mm]

Das fehlende Vorzeichen gribt man ja durch die Konstante c bereinigt. Gut dann werde ich mal schauen ob das mit dem rübermutltiplizieren klappt. Hatte da anfangs den Verdacht dass ich dann x und y vermische und dann nix gewonnen habe... mal schaun.


Bezug
                
Bezug
DGL-Lösung auflösen nach y(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Fr 20.04.2012
Autor: NightmareVirus

sauber. Deine Beschreibung genommen und das Ergebnis stimmt :) Merci


Bezug
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