Cobb Douglas Grenzproduktivitä < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Di 26.05.2009 | | Autor: | Mara22 |
| Aufgabe | Sie sind als Senior bei einer Unternehmensberatung tätig. Ihre Aufgabe ist es, der kritischen Kundschaft die Bestimmungsfaktoren von Güterangebot und Faktoreinkommen in der langen Frist zu erläutern. Glücklicherweise erinnern sie sich an die neoklassische Verteilungstheorie.
Um Ihre Argumente zu illustrieren gehen sie von einer Cobb-Douglas Produktionsfunktion mit Y = [mm] K^\alpha L^1^-^\alpha [/mm] und [mm] 0<\alpha [/mm] <1 aus. Ferner gehen sie von vollständiger Komkurrenz auf Güter und Faktormarkt aus.
Beweisen sie, dass die von Ihnen gewählte Produktionsfunktion konstante Skalenerträge, sowie positive aber abnehmende Grenzproduktivitäten aufweist. |
sooo :) also konstante Skalenerträge hab ich hinbekommen. Aber wie erkenne ich, ob bei der positiven als auch bei der abnehmenden Grenzproduktivität das < oder > 0 ist.
Als "Anhang" geb ich mal noch die Definitionen an:
positive Grenzproduktivität:
MPL = [mm] \partial [/mm] Y / [mm] \partial [/mm] L = [mm] F_{L} [/mm] (K,L) >0
MPK = [mm] \partial [/mm] Y / [mm] \partial [/mm] K = [mm] F_{K} [/mm] (K,L) >0
Abnehmende GP:
[mm] F_{LL} [/mm] (K,L) < 0
[mm] F_{KK} [/mm] (K,L) < 0
(also hier die erste Ableitung nochmal abgeleitet)
Danke schonmal im Vorraus
Lg Mara
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> Sie sind als Senior bei einer Unternehmensberatung tätig.
> Ihre Aufgabe ist es, der kritischen Kundschaft die
> Bestimmungsfaktoren von Güterangebot und Faktoreinkommen in
> der langen Frist zu erläutern. Glücklicherweise erinnern
> sie sich an die neoklassische Verteilungstheorie.
> Um Ihre Argumente zu illustrieren gehen sie von einer
> Cobb-Douglas Produktionsfunktion mit Y = [mm]K^\alpha L^1^-^\alpha[/mm]
> und [mm]0<\alpha[/mm] <1 aus. Ferner gehen sie von vollständiger
> Komkurrenz auf Güter und Faktormarkt aus.
> Beweisen sie, dass die von Ihnen gewählte
> Produktionsfunktion konstante Skalenerträge, sowie positive
> aber abnehmende Grenzproduktivitäten aufweist.
> sooo :) also konstante Skalenerträge hab ich hinbekommen.
> Aber wie erkenne ich, ob bei der positiven als auch bei der
> abnehmenden Grenzproduktivität das < oder > 0 ist.
>
> Als "Anhang" geb ich mal noch die Definitionen an:
> positive Grenzproduktivität:
> MPL = [mm]\partial[/mm] Y / [mm]\partial[/mm] L = [mm]F_{L}[/mm] (K,L) >0
> MPK = [mm]\partial[/mm] Y / [mm]\partial[/mm] K = [mm]F_{K}[/mm] (K,L) >0
>
> Abnehmende GP:
> [mm]F_{LL}[/mm] (K,L) < 0
> [mm]F_{KK}[/mm] (K,L) < 0
> (also hier die erste Ableitung nochmal abgeleitet)
>
Hallo,
gut, daß Du die Definitionen mit angibst, sinnigerweise hättest Du auch gleich die Ableitungen mitgeliefert - aus sicherer Quelle weiß ich ja, daß Du sie ausgerechnet hast.
Der Schlüssel zum Verständnis ist das [mm] \alpha. [/mm] Es ist vorausgesetzt, daß [mm] \alpha [/mm] zwischen 0 und 1 liegt.
Da K und L ja wohl positiv sind, ist jede Potenz der beiden auch positv - auch wenn "oben" was Negatives steht.
Damit hängt Positivität oder Negativität ab von den sonstigen Faktoren, die Du in der Ableitung hast, und in welches das [mm] \alpha [/mm] vorkommt.
Das schauen wir uns nun an:
[mm] \bruch{\partial Y }{\partial L}= (1-\alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha}.
[/mm]
Faktoren "K hoch irgendwas" und "L hoch irgendwas" sind positiv.
Was ist mit [mm] (1-\alpha)? [/mm] Nun, es wurde vorausgesetzt, daß [mm] \alpha [/mm] zwischen 0 und 1 liegt, und wenn ich solch einen Zahl von 1 subtrahiere, ist das Ergebnis positiv.
Insgesamt: drei positive Faktoren ==> positiv
[mm] \bruch{\partial Y }{\partial K}= \alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha}.
[/mm]
Faktoren "K hoch irgendwas" und "L hoch irgendwas" sind positiv, ebenso [mm] \alpha. [/mm] Insgesamt: drei positive Faktoren ==> positiv
Jetzt die Ableitungen [mm] F_K_K [/mm] und [mm] f_L_L
[/mm]
[mm] F_K_K=(\alpha-1)\alpha K^{\alpha-2}L^{1-\alpha}
[/mm]
Wir hatten besprochen, daß [mm] \alpha K^{\alpha-2}L^{1-\alpha} [/mm] positiv ist. Das wird jetzt mit [mm] (\alpha-1) [/mm] multipliziert. [mm] \alpha [/mm] ist nach Voraussetzung kleiner als 1, also ist [mm] (\alpha-1) [/mm] negativ. Und da das negative [mm] (\alpha-1) [/mm] mit was Positivem multipliziert wird, ist das Ergebnis negativ.
[mm] F_L_L=-\alpha (1-\alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha-1}
[/mm]
Wie zuvor ist [mm] (1-\alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha-1} [/mm] positiv. Das wird mit [mm] -\alpha [/mm] multipliziert, und da [mm] \alpha [/mm] positiv ist, ist [mm] -\alpha [/mm] negativ.
Du multiplizierst also das positive [mm] (1-\alpha)K^{\alpha}L^{-\alpha-1} [/mm] mit was Negativem, also: negativ.
Du kannst das, um Dir selbst etwas zu helfen , ja mal mit einem [mm] \alpha [/mm] zwischen 0 und 1 ausprobieren, etwa mit [mm] \alpha={3}{10} [/mm] bzw. mit [mm] \alpha=0.3, [/mm] was Dir sicher besser gefällt.
Gruß v. Angela
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