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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Cobb-Douglas-Funktion
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Cobb-Douglas-Funktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:01 Fr 23.08.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Ein Funktion mit konstanter Elastizität

[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = c, x > 0, c [mm] \in \IR, [/mm]

wird in der Wirtschaftsmathematik als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet. Was ist die allgemeinste Form einer Cobb-Douglas-Funktion?

Die Lösung lautet f(x) = A [mm] x^c. [/mm]

Wenn ich die Differentialgleichung löse komme ich auf

f(x) = [mm] \bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} ln(x)^c. [/mm]

Mir leuchtet ein, dass [mm] \bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} [/mm] eine Konstante (K) ist, also

f(x) = K [mm] ln(x)^c [/mm]

Aber um auf die Lösung zu kommen, müsste es doch eine weitere Konstante (C) geben, sodass

[mm] ln(x)^c [/mm] = C [mm] x^c [/mm]

Wie soll das gehen? Versteht ihr mein Problem?

Danke und Gruß

Martin

        
Bezug
Cobb-Douglas-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Fr 23.08.2019
Autor: fred97


> Ein Funktion mit konstanter Elastizität
>  
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] = c, x > 0, c [mm]\in \IR,[/mm]
>  
> wird in der Wirtschaftsmathematik als Cobb-Douglas-Funktion
> bezeichnet. Was ist die allgemeinste Form einer
> Cobb-Douglas-Funktion?
>  Die Lösung lautet f(x) = A [mm]x^c.[/mm]

Das stimmt nicht. Denn ist [mm] $f(x)=Ax^c$, [/mm] so ist [mm] $f'(x)=cAx^{c-1}$, [/mm] also

  [mm] $\frac{f'(x)}{f(x)}= \frac{c}{x}.$ [/mm]

____________________________

Die DGL  [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}=c[/mm]  kann man auch so schreiben:

  $f'(x)=cf(x)$.

Das ist eine lineare, homogene DGL erster Ordnung und hat die allgemeine Lösung

  [mm] $f(x)=Ae^{cx}$, [/mm]

wobei $A$ eine reelle Konstante ist.


>  
> Wenn ich die Differentialgleichung löse komme ich auf
>  
> f(x) = [mm]\bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} ln(x)^c.[/mm]
>  
> Mir leuchtet ein, dass [mm]\bruch{f(x_0)}{ln(x_0)}[/mm] eine
> Konstante (K) ist, also
>  
> f(x) = K [mm]ln(x)^c[/mm]
>  
> Aber um auf die Lösung zu kommen, müsste es doch eine
> weitere Konstante (C) geben, sodass
>  
> [mm]ln(x)^c[/mm] = C [mm]x^c[/mm]
>  
> Wie soll das gehen? Versteht ihr mein Problem?
>  
> Danke und Gruß
>  
> Martin


Bezug
                
Bezug
Cobb-Douglas-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:14 Fr 23.08.2019
Autor: sancho1980

Sorry, aber mir ist beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.
Es muss heißen:

[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] x = c

Bezug
                        
Bezug
Cobb-Douglas-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Fr 23.08.2019
Autor: fred97


> Sorry, aber mir ist beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.
>  Es muss heißen:
>  
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] x = c

Diese DGL kannst Du mit "Trennung der Veränderlichen" lösen: ich schreibe y=f(x), dann bekimmen wir

$ [mm] \frac{dy}{y}=c \frac{1}{x} [/mm] dx.$

Integration liefert

$ [mm] \ln [/mm] (y)= c [mm] \ln [/mm] (x)+d.$

Und somit

$f(x)= y(x)= [mm] e^{c \ln (x)} e^d= e^{\ln(x^c)} e^d=e^d x^c=Ax^c,$ [/mm]

wobei [mm] $A:=e^d.$ [/mm]


Bezug
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