www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Chinesischer Restsatz
Chinesischer Restsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Chinesischer Restsatz: Korrekturlesen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 15.07.2012
Autor: Manu87

Aufgabe
(a) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl $z$ so, dass die folgenden Kongruenzen erfüllt
sind:
$z [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 2)$
$z [mm] \equiv [/mm] 4 (mod 9)$
$z [mm] \equiv [/mm] 9 (mod 11)$

(b) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl $z$ so, dass die folgenden Kongruenzen erfüllt
sind:
$3 [mm] \cdot [/mm]  z [mm] \equiv [/mm] 4 (mod 5)$
$5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 (mod 6)$
$2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 7)$

(c) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl $z$ so, dass die folgenden Kongruenzen erfüllt
sind:
$z [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 2)$
$z [mm] \equiv2 [/mm] (mod 9)$
$z [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 15)$

Hallo es wäre sehr nett wenn jemand von euch mal Korrekturlesen könnte.
Dankeschön
Gruß



a)

[mm] Gegeben:\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] (\mod{2})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] (\mod{9})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 9 [mm] (\mod{11})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$M = [mm] m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 9 [mm] \cdot [/mm] 11 [mm] \cdot [/mm] = [mm] 198$\\ [/mm]
[mm] $M_1 [/mm] = [mm] M/m_1 [/mm] = 198/2 = [mm] 99$\\ [/mm]
[mm] $M_2 [/mm] = [mm] M/m_2 [/mm] = 198/9 = [mm] 22$\\ [/mm]
[mm] $M_3 [/mm] = [mm] M/m_3 [/mm] = 198/11 = [mm] 18$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm] gelten:\\ [/mm]
[mm] $ggt(m_i, M_i) [/mm] = 1 = [mm] r_i \cdot m_i [/mm] + [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus finden [mm] wir:\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot m_1 [/mm] + [mm] s_1 \cdot M_1 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot [/mm] 2 + [mm] s_1 \cdot [/mm] 99 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1 [/mm] = 50, [mm] s_1 [/mm] = [mm] -1$\\ [/mm]
$50 [mm] \cdot [/mm] 2 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 99 = 1$ [mm] \checkmark \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot m_2 [/mm] + [mm] s_2 \cdot M_2 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot [/mm] 9 + [mm] s_2 \cdot [/mm] 22 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1= [/mm] 5, [mm] s_2 [/mm] = [mm] -2$\\ [/mm]
$5 [mm] \cdot [/mm] 9 + (-2) [mm] \cdot [/mm] 22 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot m_3 [/mm] + [mm] s_3 \cdot M_3 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot [/mm] 11 + [mm] s_3 \cdot [/mm] 18 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1=5, s_3 [/mm] = [mm] -3$\\ [/mm]
$5 [mm] \cdot [/mm] 11 + (-3) [mm] \cdot [/mm] 18 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $e_i [/mm] = [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
$ [mm] e_1 [/mm] = -1 [mm] \cdot [/mm] 99 = [mm] -99$\\ [/mm]
$ [mm] e_2 [/mm] = -3 [mm] \cdot [/mm] 22 = [mm] -44$\\ [/mm]
$ [mm] e_3 [/mm] = -4 [mm] \cdot [/mm] 18 = [mm] -54$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$z = 0 [mm] \cdot e_1 [/mm] + 4 [mm] \cdot e_2 [/mm] + 9 [mm] \cdot [/mm] - [mm] e_3$\\ [/mm]
$z = 0 [mm] \cdot [/mm] -99 + 4 [mm] \cdot [/mm] -44 + 9 [mm] \cdot [/mm] -54 = [mm] -662$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$-662 [mm] \mod{198} [/mm] = [mm] 130$\\ [/mm]
$130$ ist kongruenz zu [mm] $\mod{198}$\\ [/mm]



b)

[mm] Gegeben:\\ [/mm]
$ 3 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] (\mod{5})$\\ [/mm]
$ 5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (\mod{6})$\\ [/mm]
$ 2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] (\mod{7})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Zunaechst muessen wir die Vorfaktoren "neutralisieren". Dazu multiplizieren
wir jeweils das multiplikative Inverse, welches wir mit Hilfe des
erweiterten Euklidischen Algorithmus finden

Fuer $ 3 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] (\mod{5})$:\\ [/mm]
$x * 3 + y * 5 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=2, [mm] y=-1$\\ [/mm]
$2 * 3 + (-1) * 5 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] (\mod{5})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Fuer $ 5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (\mod{6})$:\\ [/mm]
$x * 5 + y * 6 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=2, [mm] y=-1$\\ [/mm]
$4 * 5 + 4 * 6 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] (\mod{6})$:\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Fuer $ 2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] (\mod{7})$:\\ [/mm]
$x * 2 + y * 7 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=2, [mm] y=-1$\\ [/mm]
$4 * 2 + (-1) * 7 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] (\mod{7})$:\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$M = [mm] m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 [/mm] = 5 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] = [mm] 210$\\ [/mm]
[mm] $M_1 [/mm] = [mm] M/m_1 [/mm] = 210/5 = [mm] 42$\\ [/mm]
[mm] $M_2 [/mm] = [mm] M/m_2 [/mm] = 210/6 = [mm] 35$\\ [/mm]
[mm] $M_3 [/mm] = [mm] M/m_3 [/mm] = 210/7 = [mm] 30$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm] gelten:\\ [/mm]
[mm] $ggt(m_i, M_i) [/mm] = 1 = [mm] r_i \cdot m_i [/mm] + [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot m_1 [/mm] + [mm] s_1 \cdot M_1 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot [/mm] 5 + [mm] s_1 \cdot [/mm] 42 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1=68, s_1 [/mm] = [mm] -2$\\ [/mm]
$17 [mm] \cdot [/mm] 5 + (-2) [mm] \cdot [/mm] 42 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot m_2 [/mm] + [mm] s_2 \cdot M_2 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot [/mm] 6 + [mm] s_2 \cdot [/mm] 35 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_2=6, s_2 [/mm] = [mm] -1$\\ [/mm]
$6 [mm] \cdot [/mm] 6 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 35 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot m_3 [/mm] + [mm] s_3 \cdot M_3 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot [/mm] 7 + [mm] s_3 \cdot [/mm] 30 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_3=13, s_3 [/mm] = [mm] -3$\\ [/mm]
$13 [mm] \cdot [/mm] 7 + (-3) [mm] \cdot [/mm] 30 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $e_i [/mm] = [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
$ [mm] e_1 [/mm] = -2 [mm] \cdot [/mm] 42 = [mm] -84$\\ [/mm]
$ [mm] e_2 [/mm] = -1 [mm] \cdot [/mm] 35 = [mm] -35$\\ [/mm]
$ [mm] e_3 [/mm] = -3 [mm] \cdot [/mm] 30 = [mm] -90$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$z = 2 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot e_1 [/mm] + 5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot e_2 [/mm] + 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] - [mm] e_3$\\ [/mm]
$z = 2 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] -84 + 5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] -35 + 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] - 90 = [mm] -2102$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $-2102\mod{210} [/mm] = [mm] 208$\\ [/mm]
$208$ ist kongruenz zu [mm] $\mod{210}$\\ [/mm]



c)

[mm] Gegeben:\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] (\mod{2})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (\mod{9})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 9 [mm] (\mod{15})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$M = [mm] m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 9 [mm] \cdot [/mm] 15 [mm] \cdot [/mm] = [mm] 270$\\ [/mm]
[mm] $M_1 [/mm] = [mm] M/m_1 [/mm] = 270/2 = [mm] 135$\\ [/mm]
[mm] $M_2 [/mm] = [mm] M/m_2 [/mm] = 270/9 = [mm] 30$\\ [/mm]
[mm] $M_3 [/mm] = [mm] M/m_3 [/mm] = 270/15 = [mm] 18$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm] gelten:\\ [/mm]
[mm] $ggt(m_i, M_i) [/mm] = 1 = [mm] r_i \cdot m_i [/mm] + [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot m_1 [/mm] + [mm] s_1 \cdot M_1 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot [/mm] 2 + [mm] s_1 \cdot [/mm] 135 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1=68, s_1 [/mm] = [mm] -1$\\ [/mm]
$68 [mm] \cdot [/mm] 2 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 135 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot m_2 [/mm] + [mm] s_2 \cdot M_2 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot [/mm] 9 + [mm] s_2 \cdot [/mm] 30 = 1 [mm] \neq [/mm] ggt(9,30) = [mm] 3$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot m_3 [/mm] + [mm] s_3 \cdot M_3 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot [/mm] 15 + [mm] s_3 \cdot [/mm] 18 = 1 [mm] \neq [/mm] ggt(15,18) = [mm] 3$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Es konnte keine Zahl gefunden werden, die die Kongruenzen [mm] erfuellt.\\ [/mm]
        
Bezug
Chinesischer Restsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Manu87,

> (a) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl [mm]z[/mm] so, dass
> die folgenden Kongruenzen erfüllt
>  sind:
>  [mm]z \equiv 0 (mod 2)[/mm]
>  [mm]z \equiv 4 (mod 9)[/mm]
>  [mm]z \equiv 9 (mod 11)[/mm]
>  
> (b) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl [mm]z[/mm] so, dass
> die folgenden Kongruenzen erfüllt
>  sind:
>  [mm]3 \cdot  z \equiv 4 (mod 5)[/mm]
>  [mm]5 \cdot z \equiv 2 (mod 6)[/mm]
>  
> [mm]2 \cdot z \equiv 3 (mod 7)[/mm]
>  
> (c) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl [mm]z[/mm] so, dass
> die folgenden Kongruenzen erfüllt
>  sind:
>  [mm]z \equiv 1 (mod 2)[/mm]
>  [mm]z \equiv2 (mod 9)[/mm]
>  [mm]z \equiv 7 (mod 15)[/mm]
>  
> Hallo es wäre sehr nett wenn jemand von euch mal
> Korrekturlesen könnte.
>  Dankeschön
>  Gruß
>
>
>
> a)
>  
> [mm]Gegeben:\\[/mm]
>  [mm]z \equiv 0 (\mod{2})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 4 (\mod{9})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 9 (\mod{11})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]M = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 2 \cdot 9 \cdot 11 \cdot = 198[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_1 = M/m_1 = 198/2 = 99[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]M_2 = M/m_2 = 198/9 = 22[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_3 = M/m_3 = 198/11 = 18[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm]gelten:\\[/mm]
>  [mm]ggt(m_i, M_i) = 1 = r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus finden
> [mm]wir:\\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot m_1 + s_1 \cdot M_1 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot 2 + s_1 \cdot 99 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1 = 50, s_1 = -1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]50 \cdot 2 + (-1) \cdot 99 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot m_2 + s_2 \cdot M_2 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot 9 + s_2 \cdot 22 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1= 5, s_2 = -2[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]5 \cdot 9 + (-2) \cdot 22 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot m_3 + s_3 \cdot M_3 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot 11 + s_3 \cdot 18 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1=5, s_3 = -3[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]5 \cdot 11 + (-3) \cdot 18 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]e_i = s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_1 = -1 \cdot 99 = -99[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_2 = -3 \cdot 22 = -44[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]e_3 = -4 \cdot 18 = -54[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]z = 0 \cdot e_1 + 4 \cdot e_2 + 9 \cdot - e_3[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z = 0 \cdot -99 + 4 \cdot -44 + 9 \cdot -54 = -662[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]-662 \mod{198} = 130[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]130[/mm] ist kongruenz zu [mm]\mod{198}[/mm][mm] \\[/mm]
>  


[ok]


>
> b)
>  
> [mm]Gegeben:\\[/mm]
>  [mm]3 \cdot z \equiv 4 (\mod{5})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]5 \cdot z \equiv 2 (\mod{6})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]2 \cdot z \equiv 3 (\mod{7})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Zunaechst muessen wir die Vorfaktoren "neutralisieren".
> Dazu multiplizieren
>  wir jeweils das multiplikative Inverse, welches wir mit
> Hilfe des
>  erweiterten Euklidischen Algorithmus finden
>  
> Fuer [mm]3 \cdot z \equiv 4 (\mod{5})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  [mm]x * 3 + y * 5 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x=2, y=-1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]2 * 3 + (-1) * 5 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 2 \cdot 3 \cdot z \equiv 2 \cdot 4 (\mod{5})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  Fuer [mm]5 \cdot z \equiv 2 (\mod{6})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  [mm]x * 5 + y * 6 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x=2, y=-1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]4 * 5 + 4 * 6 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\Rightarrow 5 \cdot 5 \cdot z \equiv 5 \cdot 2 (\mod{6})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  Fuer [mm]2 \cdot z \equiv 3 (\mod{7})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  [mm]x * 2 + y * 7 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x=2, y=-1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]4 * 2 + (-1) * 7 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 4 \cdot 2 \cdot z \equiv 4 \cdot 3 (\mod{7})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]M = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot = 210[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_1 = M/m_1 = 210/5 = 42[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]M_2 = M/m_2 = 210/6 = 35[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_3 = M/m_3 = 210/7 = 30[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm]gelten:\\[/mm]
>  [mm]ggt(m_i, M_i) = 1 = r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot m_1 + s_1 \cdot M_1 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot 5 + s_1 \cdot 42 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1=68, s_1 = -2[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]17 \cdot 5 + (-2) \cdot 42 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot m_2 + s_2 \cdot M_2 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot 6 + s_2 \cdot 35 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_2=6, s_2 = -1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]6 \cdot 6 + (-1) \cdot 35 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot m_3 + s_3 \cdot M_3 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot 7 + s_3 \cdot 30 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_3=13, s_3 = -3[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]13 \cdot 7 + (-3) \cdot 30 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]e_i = s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_1 = -2 \cdot 42 = -84[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_2 = -1 \cdot 35 = -35[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]e_3 = -3 \cdot 30 = -90[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]z = 2 \cdot 4 \cdot e_1 + 5 \cdot 2 \cdot e_2 + 4 \cdot 3 \cdot - e_3[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]z = 2 \cdot 4 \cdot -84 + 5 \cdot 2 \cdot -35 + 4 \cdot 3 \cdot - 90 = -2102[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]-2102\mod{210} = 208[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]208[/mm] ist kongruenz zu [mm]\mod{210}[/mm][mm] \\[/mm]
>  


[ok]


>
> c)
>  
> [mm]Gegeben:\\[/mm]
>  [mm]z \equiv 1 (\mod{2})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 2 (\mod{9})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 9 (\mod{15})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]M = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot = 270[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_1 = M/m_1 = 270/2 = 135[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]M_2 = M/m_2 = 270/9 = 30[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_3 = M/m_3 = 270/15 = 18[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm]gelten:\\[/mm]
>  [mm]ggt(m_i, M_i) = 1 = r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot m_1 + s_1 \cdot M_1 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot 2 + s_1 \cdot 135 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1=68, s_1 = -1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]68 \cdot 2 + (-1) \cdot 135 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot m_2 + s_2 \cdot M_2 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot 9 + s_2 \cdot 30 = 1 \neq ggt(9,30) = 3[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot m_3 + s_3 \cdot M_3 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot 15 + s_3 \cdot 18 = 1 \neq ggt(15,18) = 3[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  Es konnte keine Zahl gefunden werden, die die Kongruenzen
> [mm]erfuellt.\\[/mm]  


Das ist richtig.

Das geht aber so: []Chinesischer Restsatz - Allgemeiner Fall


Gruss
MathePower
Bezug
                
Bezug
Chinesischer Restsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 So 15.07.2012
Autor: Manu87

Also gut dann kann ich beruhigt schlafen gehen.
Danke dir! ;-D
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]