Chinesischer Restsatz < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich sitze gerade an dem Beweis des Chinesischen Restsatzes und ich verstehe dabei folgenden Teil des Beweises nicht:
also [mm] a_1,...a_n [/mm] paarweise koprime Ideale in einem Ring R sein.
Dann wurde gezeigt, dass für festes [mm] $j\in\{1,...,n\}$, $d_j\in a_j$ [/mm] und [mm] $e_j\in\bigcap_{i\not=j}a_i [/mm] $ existieren mit [mm] $d_j+e_j=1$.
[/mm]
Jetzt verstehe ich aber die Schlußfolgerung daraus nicht.
Warum gilt dann:
[mm] \pi_i(e_j)=1, [/mm] falls $i=j$
und
[mm] \pi_i(e_j)=0, [/mm] falls [mm] i\not=j
[/mm]
? (wobei hier [mm] \pi_i [/mm] der kanonische Epimorphismus [mm] R\to R/a_i [/mm] sein soll
mit [mm] x\mapsto x+a_i. [/mm] Ferner nehme ich an, dass mit den Bezeichnungen 1 und 0 wohl [mm] 1+a_i [/mm] und [mm] 0+a_i [/mm] gemeint ist)
Hab mir dazu folgende Gedanken gemacht:
Hab auf die Gleichung [mm] $d_j+e_j=1$ [/mm] den kan. Epim. angewandt und nach [mm] \pi_i(e_j) [/mm] aufgelöst. Wenn i=j, dann ist [mm] d_j+a_i=0+a_i, [/mm] also ist [mm] \pi_i(e_j)=1+a_i. [/mm] Stimmt das ?
Aber warum gilt im anderen Fall, dass das Ergebnis =0 ist ?
Würde mich freuen, wenn ihr mir daweiterhelfen könntet !
Gruß
Fry
|
|
| |
|
Hallo Fry,
es gilt: [mm] $d_j [/mm] + [mm] e_j [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \pi_j (e_j) [/mm] = [mm] \pi_j [/mm] (1 - [mm] d_j) [/mm] = 1-0 = 1$ und [mm] $\pi_i(e_j) [/mm] = 0$ für $i [mm] \neq [/mm] j$, da [mm] $d_j \in a_j$ [/mm] und [mm] $e_j$ [/mm] in [mm] $\bigcap_{i \neq j}a_i$ [/mm] liegt.
Gruß mathfunnel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hey Mathfunnel,
da war die Idee ja richtig : )
Vielen Dank!
LG
|
|
|
|
