Chebychev- &Bernsteinungleich. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Do 05.01.2006 | | Autor: | Claudi85 |
1) Ein fairer Würfel wird n =300 mal geworfen. Schätzen Sie
(a) mit Hilfe der Chebychev Ungleichung
(b) mit Hilfe der Bernstein Ungleichung
die Wahrscheinlichkeit dafür ab, daß weniger als a = 20 oder öfter als b = 80
mal eine Drei fällt.
2) Bearbeiten Sie erneut Teil 1 für n = 3000, a = 200, b = 800.
Ich hab wirklich überhaupt keine Ahnung wie ich hier ran gehen soll, deshalb wäre ich euch für alleTtipps und Erklärungen wirklich sehr dankbar
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Hallo,
die Chebychev-Ungl schaetzt die Wahrscheinlichkeit fuer das Abweichen einer Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert. Schreib doch mal die Anzahl der Male,
dass 3 geworfen wird, als ZV (Zufallsvar.) X, dann ist [mm] X=\sum_i X_i, [/mm] wobei [mm] X_i [/mm] 1 ist genau dann, wenn im i-ten Wurf 3 kommt und 0 sonst. Berechne [mm] E(X)=\sum_i E(X_i)
[/mm]
und druecke dann das, was Dich interessiert, so als Abweichung vom Erwartungswert
aus, dass Du Chebychev anwenden kannst. Die allg. Form von Chebychev lautet (X eine ZV, a eine Zahl)
[mm] Pr(|X-E(X)|\geq [/mm] a) [mm] \leq \frac{1}{a^r}\cdot E(|X-E(X)|^r)
[/mm]
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 05.01.2006 | | Autor: | Claudi85 |
Hallo Mathias.
Erstmal wünsche ich dir (wenn auch ein wenig verspätet) ein frohes neues Jahr =)
Danke für deine Hilfe, dass muss ich mir erst einmal durch den Kopf gehen lassen, aber nun besteht zumindest die geringe chance dass ich es hinbekomme.
Du kannst mir nicht auch zufällig noch sagen wie ich die Bernsteinungleichung anwende oder!?
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Hallo,
also ich hab nachgeschaut: Die Bernstein-Ungl. liefert eine Abschaetzung fuer
[mm] Pr(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n Y_i\geq \nu), [/mm] wobei die [mm] Y_i [/mm] unabh. identisch gleichverteilte
beschr. ZV mit beschraenkter Varianz sind und [mm] E(Y_i)=0 [/mm] gilt.
Bei dem Ansatz wie bei Chebychev stoert also nur, dass die [mm] X_i=Pr(i-ter [/mm] Wurf ist 3)
nicht [mm] E(X_i)=0 [/mm] gilt, sondern [mm] E(X_i)=1\slash [/mm] 6.
Betrachte also [mm] Y_i [/mm] := [mm] X_i-\frac{1}{6}, [/mm] dann gilt [mm] E(Y_i)=0, [/mm] Du musst eine Schranke
M finden mit [mm] Y_i\leq [/mm] M, [mm] i=1,\ldots [/mm] n und die Varianz ausrechnen, so dass Du ein [mm] \sigma [/mm]
mit [mm] Var(Y_i)\leq\sigma^2, 1\leq i\leq [/mm] n findest.
Dann gilt laut dem, was ich gefunden habe:
[mm] Pr(n^{-1\slash 2}\cdot\sum_{i=1}^nY_i \geq\nu)\leq exp(-\frac{\nu^2}{2\sigma^2}B(\frac{\nu M}{\sqrt{n}\cdot\sigma^2} [/mm]
mit [mm] B(x)\geq \frac{1}{1+x\slash 3} [/mm] fuer x >0.
Du musst also wieder das Ereignis, das mindestens soundso viele 3en geworfen
werden, in der Form [mm] \sum_i Y_i\geq\nu [/mm] schreiben und dann einsetzen.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Do 05.01.2006 | | Autor: | Claudi85 |
oh hilfe. ähm na gut, da werd ich erstmal was zu tun haben. danke für deine hilfe!
liebe grüße
claudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Do 05.01.2006 | | Autor: | Claudi85 |
Es sei f(z) = [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k} z^{k} [/mm] eine komplexe Polynomfunktion vom Grad n [mm] c_{0},...,c_{n} \in \IC
[/mm]
Die Bernstein Ungleichung besagt:
[mm] max_{ |z | = 0} [/mm] | f´(z) | [mm] \le [/mm] n [mm] max_{ |z | = 0} [/mm] | f(z) |
theoretisch müsste sie so lauten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Do 05.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo nochmal,
ich weiss nicht, ob die gemeint ist oder das, was ich in der letzten Antwort geschrieben hatte - was auf den ersten Blick thematisch besser passen wuerde, oder ?
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Do 05.01.2006 | | Autor: | sachmeth |
ja mit der Anmerkung hast du sicherlich recht, deine Bernsteinungleichung würde besser passen. ich werd mal mein Glück versuchen, danke nochmal
liebe Grüße
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