Charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und alle zugehörigen Eigenvektoren von
(a) [mm] $\pmat{ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 }$, (b)$\pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 }$
[/mm]
Hinweis: -1 ist jeweils ein Eigenwert. |
Hallo,
dieses Thema ist wieder ein neues Gebiet für mich. Zwar für Informatiker nicht mehr klausurrelevant, jedoch kann sich die Note damit verbessern (aber nicht verschlechtern).
Habe ich das richtig verstanden, dass das Themengebiet "Charakteristisches Polynom" dazu dient, Matrizen zu potenzieren?
Zur Aufgabe selbst.
In meiner Formelsammlung heißt es:
[mm] $\lambda_{i}$ [/mm] Eigenwert von A [mm] $\gdw$ $\lambda_{i}$ [/mm] ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms [mm] $p_{A}$ [/mm] von $A$:
[mm] $p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda E-A)=\lambda^{n}+c_{n-1}\lambda^{n-1}+...+c_{1}\lambda+c_{0}$
[/mm]
Warum wird in der Musterlösung [mm] $\operatorname{det}(A-\lambda [/mm] E)$ geschrieben?
Wofür steht das "NR"?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
(a) [mm] $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E)=...=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-2\lambda-8=...=(-1-\lambda)(2-\lambda)(4-\lambda)$. [/mm] Eigenwerte -1,2,4.
[mm] NR$(A+E)$=NR$\pmat{ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 }=...=\operatorname{span}\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}$,
[/mm]
[mm] NR$(A-2E)$=NR$\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 }=...=\operatorname{span}\vektor{-2 \\ -3 \\ 2}$,
[/mm]
[mm] NR$(A-4E)$=NR$\pmat{ -4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }=...=\operatorname{span}\vektor{8 \\ 5 \\ 0}$,
[/mm]
(b) [mm] $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E)=...=-\lambda^{3}+3\lambda^{2}-4=...=(-1-\lambda)(2-\lambda)^{2}$. [/mm] Eigenwerte -1,2.
[mm] NR$(A+E)$=NR$\pmat{ -4 & 0 & 7 \\ 6 & 3 & -6 \\ -4 & 0 & 7 }=...=\operatorname{span}\vektor{7 \\ -6 \\ 4}$,
[/mm]
[mm] NR$(A-2E)$=NR$\pmat{ -7 & 0 & 7 \\ 6 & 0 & -6 \\ -4 & 0 & 4 }=...=\operatorname{span}(\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 1})$.
[/mm]
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> Berechnen Sie jeweils das charakteristische Polynom, die
> Eigenwerte und alle zugehörigen Eigenvektoren von
>
> (a) [mm]\pmat{ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 }[/mm],
> (b)[mm]\pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 }[/mm]
>
> Hinweis: -1 ist jeweils ein Eigenwert.
> Hallo,
> dieses Thema ist wieder ein neues Gebiet für mich. Zwar
> für Informatiker nicht mehr klausurrelevant, jedoch kann
> sich die Note damit verbessern (aber nicht
> verschlechtern).
>
> Habe ich das richtig verstanden, dass das Themengebiet
> "Charakteristisches Polynom" dazu dient, Matrizen zu
> potenzieren?
Hallo,
das ist eine der möglichen Situationen, in denen die Eigenwertbestimmung nützlich sein kann.
Ganz grob: unter gewissen Umständen (Diagonalisierbarkeit) findet man zu einer vorgegebenen Matrix A eine Basis B, bzgl derer die Abbildung, die von A bzgl der Standardbasis dargestellt wird, Diagonalgestalt hat, was das Potenzieren immens vereinfacht.
>
> Zur Aufgabe selbst.
> In meiner Formelsammlung heißt es:
>
>
> [mm]\lambda_{i}[/mm] Eigenwert von A [mm]\gdw[/mm] [mm]\lambda_{i}[/mm] ist Nullstelle
> des charakteristischen Polynoms [mm]p_{A}[/mm] von [mm]A[/mm]:
>
> [mm]p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda E-A)=\lambda^{n}+c_{n-1}\lambda^{n-1}+...+c_{1}\lambda+c_{0}[/mm]
>
>
> Warum wird in der Musterlösung
> [mm]\operatorname{det}(A-\lambda E)[/mm] geschrieben?
Die Nullstellen sind bei dem Polynom det [mm] (A-\lambda [/mm] E) und [mm] det(\lambda [/mm] E- A) gleich - auf diese kommt es an.
det [mm] (A-\lambda [/mm] E) zu berechnen ist oft weniger fehleranfällig, weil man für [mm] \lambda [/mm] E- A so viele Vorzeichen in der Matrix umdrehen muß, was erfahrungsgemäß manchmal nicht gut gelingt, obgleich es nicht schwer ist.
>
> Wofür steht das "NR"?
Nullraum = Kern.
Gruß v. Angela
>
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
>
> Musterlösung:
>
> (a) [mm]\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E)=...=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-2\lambda-8=...=(-1-\lambda)(2-\lambda)(4-\lambda)[/mm].
> Eigenwerte -1,2,4.
>
> NR[mm](A+E)[/mm]=NR[mm]\pmat{ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 }=...=\operatorname{span}\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}[/mm],
>
> NR[mm](A-2E)[/mm]=NR[mm]\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 }=...=\operatorname{span}\vektor{-2 \\ -3 \\ 2}[/mm],
>
> NR[mm](A-4E)[/mm]=NR[mm]\pmat{ -4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }=...=\operatorname{span}\vektor{8 \\ 5 \\ 0}[/mm],
>
>
> (b) [mm]\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E)=...=-\lambda^{3}+3\lambda^{2}-4=...=(-1-\lambda)(2-\lambda)^{2}[/mm].
> Eigenwerte -1,2.
>
> NR[mm](A+E)[/mm]=NR[mm]\pmat{ -4 & 0 & 7 \\ 6 & 3 & -6 \\ -4 & 0 & 7 }=...=\operatorname{span}\vektor{7 \\ -6 \\ 4}[/mm],
>
> NR[mm](A-2E)[/mm]=NR[mm]\pmat{ -7 & 0 & 7 \\ 6 & 0 & -6 \\ -4 & 0 & 4 }=...=\operatorname{span}(\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 1})[/mm].
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Danke soweit.
Entweder habe ich mich verrechnet, oder mein Ansatz ist falsch... So gehe ich vor:
[mm] $\pmat{ 2-\lambda & 2 & 3 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & -2 & 1-\lambda }$ [/mm] und anschließend verwende ich die Regel von Sarrus.
Ist dieser Weg richtig?
Gruß
el_grecco
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Hallo
> Danke soweit.
>
> Entweder habe ich mich verrechnet, oder mein Ansatz ist
> falsch... So gehe ich vor:
>
> [mm]\pmat{ 2-\lambda & 2 & 3 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & -2 & 1-\lambda }[/mm]
> und anschließend verwende ich die Regel von Sarrus.
>
> Ist dieser Weg richtig?
Jops, der Ansatz ist richtig. Jetzt die Determinante ausrechnen und die Nullstellen des entstandenen Polynoms ausrechnen!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Grüsse, Amaro
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Danke, Amaro.
Ich hatte mich verrechnet...
Schließlich liefert mir die "Regel von Sarrus":
[mm] $-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-2\lambda-8$
[/mm]
Hier zeigt sich eine große Schwachstelle von mir:
Wie geht man am besten vor, wenn man ein Polynom faktorisieren möchte?
Gruß
el_grecco
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Hallo, dein charakteristisches Polynom ist korrekt, du möchtest also lösen
[mm] 0=\lambda^{3}-5\lambda^{2}+2\lambda+8
[/mm]
du kannst über die Polynomdivision gehen, errate die erste Nullstelle, benutze die Teiler von 8, also [mm] \pm1, \pm2, \pm4, \pm8, [/mm] du kommst ganz schnell zum Erfolg, dann hast du eine quadratische Gleichung, oder die Teiler bis zum Ende probieren
Steffi
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Danke Steffi.
Wie würde man vorgehen, wenn es so heißt:
[mm] $0=\lambda^{3}-5\lambda^{2}+2\lambda$ [/mm] (also ohne die Zahl 8)?
Ein [mm] $\lambda$ [/mm] ausklammern und dann für das Innere der Klammer die Mitternachtsformel anwenden oder für das Innere der Klammer den Teiler für die Zahl 2 suchen?
Mir geht es konkret um die Zuverlässigkeit dieser "Teiler-Methode"...
Gruß
el_grecco
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> Danke Steffi.
>
> Wie würde man vorgehen, wenn es so heißt:
>
> [mm]0=\lambda^{3}-5\lambda^{2}+2\lambda[/mm] (also ohne die Zahl
> 8)?
>
> Ein [mm]\lambda[/mm] ausklammern und dann für das Innere der
> Klammer die Mitternachtsformel anwenden oder für das
> Innere der Klammer den Teiler für die Zahl 2 suchen?
>
> Mir geht es konkret um die Zuverlässigkeit dieser
> "Teiler-Methode"...
Hallo,
soweit das Polynom normiert ist, die Koeffizienten ganze Zahlen und die Nullstelle rational, findest Du sie auf diese Weise...
In anderen Fällen rettet Dich die Teilersuche nicht.
Aaaaber: Klausuraufgaben sind meist sehr studentenfreundlich, so daß bei charakteristischen Polynomen vom Grad 3 oder größer das fröhliche Nullstellenraten wirklich meist zu einem Volltreffer führt.
Bei Polynomen vom Grad 2 bekommt man auch nichtganzzahlige Lösunng mit den einschlägigen Verfahren so schnell, daß es keinen Grund gibt, Nullstellen zu raten. Aber wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, findest Du sie teilertestend auch hier.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mo 12.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke für die Erklärung, Angela.
Der Feind in den Klausuren sind meistens nicht die Aufgaben, sondern ich selbst, wie diese Aufgabe hier zeigt:
Sei [mm] $p=X^{3}-7X^{2}+12X-10\in\IC\left[ X \right]$. [/mm] Zerlegen Sie $p$ in Linearfaktoren.
Hinweis: 5 ist eine Nullstelle.
Lösung:
Polynomdivision ergibt [mm] $X^{3}-7X^{2}+12X-10=(X-5)(X^{2}-2X+2).
[/mm]
Die Nullstellen von [mm] $X^{2}-2X+2$ [/mm] sind [mm] $1\pm\wurzel{1-2}=1\pm [/mm] i$.
Die Polynomdivision habe ich noch "gemeistert". Doch dann habe ich verzweifelt versucht, [mm] $X^{2}-2X+2$ [/mm] zu faktorisieren, ohne zu erkennen, dass die Mitternachtsformel genügt hätte und dass [mm] $\wurzel{-1}=i$ [/mm] ist.
Das wäre mir zu Abiturzeiten niemals passiert, aber "dank" dem Zivildienst und der einjährigen Lernauszeit, ist so einiges verloren gegangen, vor allem die Abgebrühtheit in Klausuren.
Am Mittwoch ist die Klausur, hoffen wir das Beste.
Gruß
el_grecco
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> Am Mittwoch ist die Klausur, hoffen wir das Beste.
Genau.
Ich werde Dir gewiß Dir die Daumen drücken.
Unmenschliches wird ja meist nicht verlangt, und man muß nie alles wissen. Nur genug...
Gruß v. Angela
P.S.: Was ich schon immer sagen wollte: ich find's wirklich toll, daß Du die Musterlösungen hier stets so antwortgeberfreundlich präsentierst. Sieht aus wie eingetippt. Vorbildlich. Ein Traum...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mo 12.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
>
> > Am Mittwoch ist die Klausur, hoffen wir das Beste.
>
> Genau.
> Ich werde Dir gewiß Dir die Daumen drücken.
> Unmenschliches wird ja meist nicht verlangt, und man muß
> nie alles wissen. Nur genug...
>
> Gruß v. Angela
Danke! 
>
> P.S.: Was ich schon immer sagen wollte: ich find's wirklich
> toll, daß Du die Musterlösungen hier stets so
> antwortgeberfreundlich präsentierst. Sieht aus wie
> eingetippt. Vorbildlich. Ein Traum...
Auch wenn es teilweise wirklich mühsam ist, alles einzutippen, mache ich es inzwischen bei jeder Aufgabe, denn das ist man dem Hilfeleistenden wirklich schuldig. Da die Aufgaben + Musterlösungen im pdf-Format vorliegen, könnte ich zwar auch einen Screenshot einfügen, aber dafür muss der Hilfeleistende dann alles eintippen. Nach einigen Jahren hier im Forum kennt man die Syntax von TeX bis auf einige Ausnahmen doch ganz gut.
Screenshots haben aber gegenüber eingetippten Texten einen großen Vorteil: Dozenten oder Assistenten können nach den Aufgaben nicht "googeln." Das erübrigt sich in meinem Fall aber, denn es gibt auf die Aufgaben keine Bonuspunkte für die Klausur.
Feierabend für heute.
Gruß
el_grecco
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Hallo nochmal.
Zur Teilaufgabe (a) und den Eigenvektoren:
Diese Matrix [mm] $\pmat{ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 }$ [/mm] muss ich doch mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus behandeln, um dann mit einem weiteren Schritt auf den Eigenvektor zu kommen?
Wenn ich das mache, erhalte ich schließlich [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$.
[/mm]
Wie komme ich dann aber auf den in der Lösung angegebenen Eigenvektor [mm] $\operatorname{span}\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}$?
[/mm]
Danke
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Di 13.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal.
>
> Zur Teilaufgabe (a) und den Eigenvektoren:
>
> Diese Matrix [mm]\pmat{ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 }[/mm]
> muss ich doch mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus behandeln,
> um dann mit einem weiteren Schritt auf den Eigenvektor zu
> kommen?
>
> Wenn ich das mache, erhalte ich schließlich [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm].
>
> Wie komme ich dann aber auf den in der Lösung angegebenen
> Eigenvektor [mm]\operatorname{span}\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]?
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }*\vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] [mm] \gdw [/mm] x=-z und y=0 [mm] \gdw [/mm] es ex. ein t [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] $\vektor{x \\ y \\ z}= t*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
FRED
>
>
> Danke
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Di 13.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke, Fred. Jetzt habe ich es endlich gerafft.
Gruß
el_grecco
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Hallo.
Aus irgendeinem Grund schaffe ich es nicht, auf den Eigenvektor zu kommen, wie er in der Musterlösung angegeben ist, und zwar bei dieser Matrix:
[mm] $\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 }$
[/mm]
Den Gauß-Jordan-Algorithmus führe ich so durch:
Vertauschen der ersten und zweiten Zeile:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -1 }$
[/mm]
Addiere die zweite zur dritten Zeile, addiere die dritte zur zweiten Zeile:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 }$
[/mm]
Subtrahiere die zweite von der dritten Zeile, subtrahiere die dritte von der zweiten Zeile:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Sollte das richtig sein, sehe ich beim besten Willen nicht, wie ich jetzt auf [mm] $\operatorname{span}\vektor{-2 \\ -3 \\ 2}$ [/mm] kommen kann?
Vielen Dank.
Gruß.
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Hallo.
>
> Aus irgendeinem Grund schaffe ich es nicht, auf den
> Eigenvektor zu kommen, wie er in der Musterlösung
> angegeben ist, und zwar bei dieser Matrix:
Diese Matrix hat vollen Rang!
> [mm]\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 }[/mm]
Wenn ich mal orakle, ist das die Matrix zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$, [/mm] deren Kern du da gerade bestimmen willst.
Hier ist der Eintrag [mm] $a_{11}=-2$ [/mm] aber falsch. Dort muss [mm] $2-\lambda=2-2=0$ [/mm] stehen.
Das führt rasch zu einer Nullzeile...
>
> Den Gauß-Jordan-Algorithmus führe ich so durch:
>
> Vertauschen der ersten und zweiten Zeile:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -1 }[/mm]
>
> Addiere die zweite zur dritten Zeile, addiere die dritte
> zur zweiten Zeile:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Subtrahiere die zweite von der dritten Zeile, subtrahiere
> die dritte von der zweiten Zeile:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Sollte das richtig sein, sehe ich beim besten Willen nicht,
> wie ich jetzt auf [mm]\operatorname{span}\vektor{-2 \\ -3 \\ 2}[/mm]
> kommen kann?
Falsche Ausgangsmatrix!
>
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß.
> el_grecco
>
Gruß
schachuzipus
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Danke schachuzipus.
Kaum zu glauben: das ist mal wieder ein Fehler in der Musterlösung!!!
Für eine Überprüfung meines Weges wäre ich sehr dankbar:
[mm] $\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 }$
[/mm]
Vertauschen der Zeilen:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 3 }$
[/mm]
Addiere Zeile 2 zu Zeile 3:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 }$
[/mm]
Addiere -2*Zeile 1 zu Zeile 2:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Multipliziere Zeile 2 mit 1/2:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1,5 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Dann:
[mm] $\operatorname{span}\vektor{-1 \\ -1,5 \\ 1}$
[/mm]
Gruß
el_grecco
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> Danke schachuzipus.
> Kaum zu glauben: das ist mal wieder ein Fehler in der
> Musterlösung!!!
>
> Für eine Überprüfung meines Weges wäre ich sehr
> dankbar:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 }[/mm]
>
> Vertauschen der Zeilen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 3 }[/mm]
>
> Addiere Zeile 2 zu Zeile 3:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 }[/mm]
>
> Addiere -2*Zeile 1 zu Zeile 2:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Multipliziere Zeile 2 mit 1/2:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1,5 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Dann:
>
> [mm]\operatorname{span}\vektor{-1 \\ -1,5 \\ 1}[/mm]
Hallo,
stimmt!
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für's Korrigieren, Angela.
Dann ist die dritte Matrix der Teilaufgabe (a) wohl auch falsch und muss stattdessen so lauten:
[mm] $\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }$
[/mm]
Vertausche Zeile 1 mit Zeile 2:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -3 }$
[/mm]
Addiere Zeile 2 zu Zeile 3, addiere Zeile 3 zu Zeile 2:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Damit lauten die Eigenvektoren:
[mm] $\operatorname{span}(\vektor{2 \\ 1 \\ 0},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1})$
[/mm]
Bitte um Korrektur.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Steffi
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Steffi, ist das wirklich richtig (möglicherweise bin ich nur total übermüdet...)?
Bei die liegt die Matrix ja nicht in ZSF vor?
Gruß
el_grecco
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Hey
> Steffi, ist das wirklich richtig (möglicherweise bin ich
> nur total übermüdet...)?
>
> Bei die liegt die Matrix ja nicht in ZSF vor?
Es ist auch noch nicht zu Ende.. ;) aber ZSF kriegste hin, oder?
>
>
> Gruß
> el_grecco
>
Grüsse, Amaro
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Hallo
> Vielen Dank für's Korrigieren, Angela.
>
> Dann ist die dritte Matrix der Teilaufgabe (a) wohl auch
> falsch und muss stattdessen so lauten:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }[/mm]
>
> Vertausche Zeile 1 mit Zeile 2:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -3 }[/mm]
>
> [mm] \red{Addiere \ Zeile \ 2 \ zu \ Zeile \ 3, \ addiere \ Zeile \ 3 \ zu \ Zeile \ 2:}
[/mm]
Das darfst du natürlich nicht tun.. hast du erstmal die dritte Zeile verändert, so musst du mit der neu entstandenen zeile weiterrechnen...
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Damit lauten die Eigenvektoren:
>
> [mm]\operatorname{span}(\vektor{2 \\ 1 \\ 0},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1})[/mm]
>
>
> Bitte um Korrektur.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Grüsse, Amaro
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Vielen Dank, Amaro.
Echt gut, dass Du das gesagt hast, sonst wäre ich morgen unwissend in die Klausur...
Nochmals von Anfang an:
[mm] $\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }$
[/mm]
Vertausche Zeile 1 mit Zeile 2:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -3 }$
[/mm]
Addiere Zeile 2 zu Zeile 3:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Addiere 2*Zeile 1 zu Zeile 2:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Multipliziere Zeile 2 mit -1/2:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2,5 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Addiere 2*Zeile 2 zu Zeile 1:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -2,5 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Eigenvektor:
[mm] $\operatorname{span}\vektor{4 \\ 2,5 \\ 1}$
[/mm]
Hoffe, dass das jetzt stimmt.
Gruß
el_grecco
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Hey!
> Vielen Dank, Amaro.
> Echt gut, dass Du das gesagt hast, sonst wäre ich morgen
> unwissend in die Klausur...
>
> Nochmals von Anfang an:
>
> [mm]\pmat{\red{-2} & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }[/mm]
>
> Vertausche Zeile 1 mit Zeile 2:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -3 }[/mm]
>
> Addiere Zeile 2 zu Zeile 3:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Addiere 2*Zeile 1 zu Zeile 2:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Multipliziere Zeile 2 mit -1/2:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2,5 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Addiere 2*Zeile 2 zu Zeile 1:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -2,5 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Eigenvektor:
>
> [mm]\operatorname{span}\vektor{4 \\ 2,5 \\ 1}[/mm]
>
> Hoffe, dass das jetzt stimmt.
>
Die Zeilenstufenform hast du richtig.
Der Eigenvektor wäre auch richtig. (Zum Eigenwert 0 dieser Matrix..)
Doch ich sehe nicht ganz, wie diese Matrix mit der ursprünglich gestellten Aufgabe gebastelt wurde.. Wenn du den Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 4 berechnen wolltest, dann hast du einen kleinen Fehler bei deiner Matrix gemacht (habe ich rot markiert). Dort müsste eine [mm] \red{-4} [/mm] stehen.
Ansonstens hast du alles richtig gemacht :)
> Gruß
> el_grecco
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Grüsse ,Amaro
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Danke für die Durchsicht, Amaro.
Gut möglich, dass ich im Moment nicht mehr durchblicke, denn ich habe heute wohl schon zu viele Zahlen gesehen...
Ausgehend von der Matrix in der Aufgabenstellung:
[mm] $\pmat{ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 }$
[/mm]
Für die besagte Stelle muss es doch dann so heißen?
[mm] $2-\lambda=2-4=-2$
[/mm]
Folglich:
[mm] $\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }$
[/mm]
Gruß
el_grecco
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Hallo
> Danke für die Durchsicht, Amaro.
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> Gut möglich, dass ich im Moment nicht mehr durchblicke,
> denn ich habe heute wohl schon zu viele Zahlen gesehen...
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> Ausgehend von der Matrix in der Aufgabenstellung:
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> [mm]\pmat{ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 }[/mm]
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> Für die besagte Stelle muss es doch dann so heißen?
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> [mm]2-\lambda=2-4=-2[/mm]
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> Folglich:
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> [mm]\pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -3 }[/mm]
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Kann es sein, dass die Musterlösung in deinem ersten Beitrag falsch ist? ^^ Denn deine Lösung stimmt. Ich habe nur gesagt, du hast einen Fehler, ausgehend von der Musterlösung selbst..
Aber entschuldige, es sollte stimmen :)
Viel Erfolg morgen!
>
> Gruß
> el_grecco
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Grüsse, Amaro
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