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| Aufgabe | | Warum sind die Eigenwerte einer Matrix die Nullstellen des C.Polynoms dieser Matrix? |
Hallo,
ich habe versucht mit der Formel [mm] p(\lambda) [/mm] = (A - [mm] \lambda [/mm] I) = 0 zu arbeiten, komme aber auf keine grünen Zweig.
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> Warum sind die Eigenwerte einer Matrix die Nullstellen des
> C.Polynoms dieser Matrix?
Hallo,
laß uns langsam vortasten:
wir haben also eine Matrix A.
Was bedeutet es, wenn sie einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] hat?
Gruß v. Angela
> Hallo,
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> ich habe versucht mit der Formel [mm]p(\lambda)[/mm] = (A - [mm]\lambda[/mm]
> I) = 0 zu arbeiten, komme aber auf keine grünen Zweig.
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Hallo,
als erstes würde mir einfallen, dass dann Vektoren v existieren mit
A(v) = [mm] \lambda [/mm] v
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> Hallo,
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> als erstes würde mir einfallen, dass dann Vektoren v
> existieren mit
> A(v) = [mm]\lambda[/mm] v
Genau.
Wobei entscheidend ist, daß [mm] v\not=0.
[/mm]
Nun kann es weitergehen:
also ist 0= [mm] Av-\lambda [/mm] v= [mm] (A-\lambda [/mm] E)v.
Die Frage lautet nun also: für welche [mm] \lambda [/mm] hat obige Gleichung eine von v=0 verschiedene Lösung?
Die ist der Fall, wenn [mm] (A-\lambda [/mm] E) nicht invertierbar ist, also muß die Det von [mm] A-\lambda [/mm] E gerade 0 sein.
Kannst Du jetzt dem Bogen zum charakteristischen Polynom schlagen?
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich habe Schwierigkeiten mit dem letzten Satz.
Wir suche zunächst also ein [mm] \lambda [/mm] für das (A [mm] -\lambda [/mm] E)v = 0 ist, mit [mm] v\not= [/mm] 0? Wenn es dieses [mm] \lambda [/mm] gibt so existieren Vektoren [mm] v\not= [/mm] 0, sodass (A [mm] -\lambda [/mm] E) v = 0 ist.Daraus folgt das (A [mm] -\lambda [/mm] E) nicht invertierbar ist.
Aber die Determinante einer nicht invertierbaren Matrix ist doch gleich null. Du schreibst jetzt aber das det(A - [mm] \lambda [/mm] E) [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Der Schritt zu "nicht invertierbar" ist mir noch nicht ganz klar. Wieso ist eine Matrix A nicht invertierbar, wenn es v gibt mit A(v) = 0?
Snafu
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> Hallo,
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> ich habe Schwierigkeiten mit dem letzten Satz.
> Wir suche zunächst also ein [mm]\lambda[/mm] für das (A [mm]-\lambda[/mm]
> E)v = 0 ist, mit [mm]v\not=[/mm] 0?
Ja, für das es solch einen Vektor v gibt.
> Wenn es dieses [mm]\lambda[/mm] gibt so
> existieren Vektoren [mm]v\not=[/mm] 0, sodass (A [mm]-\lambda[/mm] E) v = 0
> ist.Daraus folgt das (A [mm]-\lambda[/mm] E) nicht invertierbar
> ist.
Ja.
>
> Aber die Determinante einer nicht invertierbaren Matrix ist
> doch gleich null. Du schreibst jetzt aber das det(A -
> [mm]\lambda[/mm] E) [mm]\not=[/mm] 0 ist.
Wie dämlich! Ich wollte das genaue Gegenteil schreiben...
Natürlich muß die det =0 sein!
So, nun kannst Du weitermachen. Tut mir leid, daß ich durch Blödsinn verwirrt habe.
Gruß v. Angela
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Guten Morgen,
also wir wissen jetzt, dass det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = 0 sein muss und wegen [mm] p_{A} (\lambda [/mm] ) = det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = 0 ist gezeigt, dass [mm] \lambda [/mm] eine Nullstelle vom CP zur Matrix A ist(oder wie wir die Matrix oben auch genannt habe). So müsste es stimmen,oder?
PS: Hatte die Frageschon mal oben gestellt: Mir ist nicht ganz klar wieso aus der Vorraussetztung " es gibt ein [mm] v\not= [/mm] 0 mit A(v) = 0 " folgen muss, dass A nicht invertierbar ist?
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> Guten Morgen,
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> also wir wissen jetzt, dass det(A - [mm]\lambda[/mm] E) = 0 sein
> muss und wegen [mm]p_{A} (\lambda[/mm] ) = det(A - [mm]\lambda[/mm] E) = 0
> ist gezeigt, dass [mm]\lambda[/mm] eine Nullstelle vom CP zur Matrix
> A ist(oder wie wir die Matrix oben auch genannt habe). So
> müsste es stimmen,oder?
Hallo,
ja, so stimmt es.
>
> PS: Hatte die Frageschon mal oben gestellt: Mir ist nicht
> ganz klar wieso aus der Vorraussetztung " es gibt ein
> [mm]v\not=[/mm] 0 mit A(v) = 0 " folgen muss, dass A nicht
> invertierbar ist?
Die v, die Av=0 lösen, sind im Kern von A, und die durch A dargestellte Abbildung ist injektiv gdw Kern A=0.
Wenn die Abbildung aber injektiv ist, gibt es kein [mm] v\not=0 [/mm] mit Av=0, denn es ist ja immer A*0=0.
(Wenn f zwischen zwei Vektorräumen derselben endlichen Dimension abbildet, sind injektiv, surjektiv, bijektiv äquivalent.)
Gruß v. Angela
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Hi,
was heißt "gdw" , in dem Satz"...und die durch A dargestellte Abbildung ist injektiv gdw Kern A=0."?
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Hi,
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> was heißt "gdw" , in dem Satz"...und die durch A
> dargestellte Abbildung ist injektiv gdw Kern A=0."?
Das "gdw" heißt "genau dann wenn".
>
> Snafu
Gruss
MathePower
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Hi,
achso ok. Also wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, ist eine Abb. die in ihrem Kern andere Vektoren hat außer dem Nullvektor, automatisch nicht injektiv, und somit auch singulär bzw. nicht invertierbar?
Snafu
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Hi,
ja eine Abbildung ist injektiv [mm] \gdw Ker(T)=\{0\}.
[/mm]
Denn:
Sei V ein Vektorraum und T eine lineare Transformation / Abbildung $ T:V [mm] \to [/mm] V $ und seien $ v,w [mm] \in [/mm] V $ dann gilt $ T(v)=T(w) [mm] \Rightarrow [/mm] T(v)-T(w)=0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ v-w [mm] \in [/mm] Ker(T) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ v-w=0 [mm] \Rightarrow [/mm] v=w $.
Für die Umkehrung ist wichtig zu wissen, dass der Kern eines Homomorphismus immer die Null enthält. Daraus kannst du sofort einen Widerspruch erzeugen.
Lg
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