Charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Also ich habe Probleme zwei Aussagen nachzuvollziehen.
a)Sei A eine n*n Matrix mit Nilpotenzgrad k [mm] \gdw [/mm] das charakteristische Polynom von A hat die Form [mm] X_a [/mm] = [mm] \lambda^n
[/mm]
b) Sei A eine n*n Matrix mit Nilpotenzgrad k [mm] \gdw [/mm] A ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix
Hängt es irgendwie damit zusammen, dass wenn A nilpotent ist, es nur den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 0 gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Do 05.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also ich habe Probleme zwei Aussagen nachzuvollziehen.
> a)Sei A eine n*n Matrix mit Nilpotenzgrad k [mm]\gdw[/mm] das
> charakteristische Polynom von A hat die Form [mm]X_a[/mm] =
> [mm]\lambda^n[/mm]
> b) Sei A eine n*n Matrix mit Nilpotenzgrad k [mm]\gdw[/mm] A ist
> ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix
>
> Hängt es irgendwie damit zusammen, dass wenn A nilpotent
> ist, es nur den Eigenwert [mm]\lambda[/mm] = 0 gibt?
Ja. Sehr sogar :)
Was weisst du denn ueber die Zusammenhaenge charakteristisches Polynom, Eigenwerte, trigonalisieren, ...?
LG Felix
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Also die Nullstellen des char. Polynoms sind die Eigenwerte. Und eine Matrix ist trigonalisierbar, wenn das char. Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt. Und bei einer oberen Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte auf der Haupdiagonalen.
Leider komme ich nicht drauf, wie ich es bei der Aufgabe anwenden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:52 Fr 06.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also die Nullstellen des char. Polynoms sind die
> Eigenwerte. Und eine Matrix ist trigonalisierbar, wenn das
> char. Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt. Und bei
> einer oberen Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte auf der
> Haupdiagonalen.
> Leider komme ich nicht drauf, wie ich es bei der Aufgabe
> anwenden kann.
Zeige mal folgende Implikationen:
(1) Matix ist nilpotent [mm] $\Rightarrow$ [/mm] alle Eigenwerte sind 0;
(2) Alle Eigenwerte sind 0 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] das char. Polynom ist [mm] $X^n$;
[/mm]
(3) Das char. Polynom ist [mm] $X^n$ $\Rightarrow$ [/mm] die Matrix ist nilpotent;
(4) Alle Eigenwerte sind 0 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Matrix ist aequivalent zu einer oberen Dreiecksmatrix; (Tipp: trigonalisieren)
(5) Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix [mm] $\Rightarrow$ [/mm] diese Matrix ist nilpotent;
(6) Eine Matrix ist aequivalent zu einer oberen Dreiecksmatrix [mm] $\Rightarrow$ [/mm] diese Matrix ist ebenfalls nilpotent. (Tipp: benutze 5)
LG Felix
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