Charakteristik eines Ringes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Di 15.11.2005 | | Autor: | melek |
Die Charakteristik eines Ringes R (mit 1) ist die kleinste positive ganze Zahl char(R) mit char(R) x 1= 1+1+....+1=0. Wir setzen char(R):=0, falls
n mal 1 ungleich null für alle n>0 gilt.
a) Zu n element aus den natürlichen Zahlen gebe man einen Ring R mit char(R)=n an.
b) Man zeige, dass char(R) eine Primzahl oder 0 ist für nullteilerfreie Ringe R. Gilt die Umkehrung, d.h. folgt R nullteilerfrei aus char(R) prim bzw. 0?
c) Können Sie etwas über char(R x R') für zwei Ringe R, R' sagen?
Die Aufgaben sind auf meinem Übungsblatt enthalten, die ich zu morgen machen soll, doch das Thema ist für mich total neu, da ich erst gerade angefangen habe, zu studieren. Und dieses hatten wir noch in keiner unserer Vorlesungen, soweit ich weiß. Ich weiß gar nicht, wie ich damit anfangen soll...
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> Die Charakteristik eines Ringes R (mit 1) ist die kleinste
> positive ganze Zahl char(R) mit char(R) x 1= 1+1+....+1=0.
> Wir setzen char(R):=0, falls
> n mal 1 ungleich null für alle n>0 gilt.
> a) Zu n element aus den natürlichen Zahlen gebe man einen
> Ring R mit char(R)=n an.
> b) Man zeige, dass char(R) eine Primzahl oder 0 ist für
> nullteilerfreie Ringe R. Gilt die Umkehrung, d.h. folgt R
> nullteilerfrei aus char(R) prim bzw. 0?
> c) Können Sie etwas über char(R x R') für zwei Ringe R, R'
> sagen?
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> Die Aufgaben sind auf meinem Übungsblatt enthalten, die ich
> zu morgen machen soll, doch das Thema ist für mich total
> neu, da ich erst gerade angefangen habe, zu studieren. Und
> dieses hatten wir noch in keiner unserer Vorlesungen,
> soweit ich weiß. Ich weiß gar nicht, wie ich damit anfangen
> soll...
Hallo,
da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten, wenn wir "Chaos im Institut" einmal ausschließen.
Die erste Möglichkeit ist die, daß Du ein falsches Übungsblatt erwischt hast, eines von der Algebra statt von der linearen Algebra.
Die zweite Möglichkeit ist die, daß Du nicht gemerkt hast, daß die Aufgaben durchaus etwas mit der Vorlesung zu tun haben. Das kommt vor, auch wenn man nicht besonders dämlich ist. Eine temporäre Blindheit vielleicht.
Nehmen wir die zweite Möglichkeit an. Weiter gehe ich auch davon aus, daß Du das, was in der Vorlesung dran war, weißt. (Im Groben...)
Ersteinmal zur Charakteristik:
In einem beliebigen Ring KANN etwas vorkommen, was wir aus dem Ring der ganzen Zahlen nicht kennen: daß man die 1, also das neutrale Element bzgl. der Multiplikation k-mal addiert, und dann Null herauskommt, abgekürzt geschrieben als k1=0. WENN so etwas vorkommt, könnte es sein (es ist sogar so...) daß das bei mehreren verschiedenen [mm] k_i [/mm] passiert.
Und die kleinste dieser Zahlen [mm] k_i [/mm] heißt dann die Charakteristik des Ringes.
Ist Dir jetzt die Definition klar geworden?
(Die war vermutlich nicht in der Vorlesung dran, aber wenn sie auf dem Aufgabenblatt steht, reicht das... Es ist anders als in der Schule, aber Du wirst Dich daran gewöhnen.)
Nun zu Aufgabe a)
Wenn das Blatt nicht zur falschen Vorlesung ist, habt Ihr Ringe besprochen.
Welche Beispiele hattet Ihr für Ringe?
Ein Tip: schau Dir die Restklassenringe an. Was passiert da, wenn Du die 1 oft genug addierst?
Ich hoffe, daß ich Dich auf die rechte Spur gebracht habe.
Wenn Aufgabe a) geklärt ist, können wir uns gern noch über die anderen Teilaufgaben unterhalten, aber: eins nach dem anderen...
Gruß v. Angela
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