Charakteristik eines Körpers < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Verständnisfrage: Ich betrachte [mm] \IF_q[x] [/mm] / [mm] x^b [/mm] mit einer Primzahl q und b [mm] \in \IN [/mm] .
Wer sich ein solches Element f(x) in dieser Menge ansieht, stellt schnell fest, dass die Anzahl der invertierbaren Elemente = | [mm] \IF_q[x] [/mm] / [mm] x^b [/mm] | = (q-1)*q^(b-1) ist weil [mm] x^b=0, [/mm] also nur der erste Koeffizient von f(x) invertierbar sein muss, damit f(x) inv.bar ist. |
Meine Frage dazu: Was ist die Charakteristik dieser invertierbaren Elemente oder, wenn es ein Körper sein muss:
Was ist die Charakteristik von [mm] (\IF_q[x] [/mm] / [mm] x^b) \cup \{0 \} [/mm] ? Ist es (q-1)*b? Wie lässt sich das verallgemeinern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 13.04.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Verständnisfrage: Ich betrachte [mm]\IF_q[x][/mm] / [mm]x^b[/mm] mit einer
> Primzahl q und b [mm]\in \IN[/mm] .
>
> Wer sich ein solches Element f(x) in dieser Menge ansieht,
> stellt schnell fest, dass die Anzahl der invertierbaren
> Elemente = | [mm]\IF_q[x][/mm] / [mm]x^b[/mm] | = (q-1)*q^(b-1) ist weil
> [mm]x^b=0,[/mm] also nur der erste Koeffizient von f(x) invertierbar
> sein muss, damit f(x) inv.bar ist.
Genau, die Einheiten sind genau die Restklassen von Polynomen mit konstanten Term ungleich 0 (da in [mm] $\IF_q$ [/mm] die Bedingung [mm] $\neq [/mm] 0$ aequivalent zu Invertierbar ist).
(Das ist im Ring der formalen Potenzreihen [mm] $\IF_q[[x]]$ [/mm] uebrigens genauso; es gibt auch eine sehr enge Beziehung zwischen diesem und den Ringen [mm] $\IF_q[x]/(x^b)$, [/mm] $b [mm] \in \IN$.)
[/mm]
> Meine Frage dazu: Was ist die Charakteristik dieser
> invertierbaren Elemente oder, wenn es ein Körper sein
> muss:
Die Charakteristik ist nur fuer einen Ring (mit Eins) definiert und nicht fuer einzelnde Elemente.
(Man kann natuerlich die Charakteristik eines Elementes $a$ als kleinste natuerliche Zahl $n > 0$ mit $n [mm] \cdot [/mm] a = 0$ definieren, bzw. als 0 wenn es kein solches $n > 0$ gibt. In dem Fall ist es aber so: hat der Ring einen Unterkoerper, so ist die Charakteristik eines jeden Elements gleich der Charakteristik dieses Unterkoerpers. Hier hast du den Unterkoerper [mm] $\IF_q$.)
[/mm]
> Was ist die Charakteristik von [mm](\IF_q[x][/mm] / [mm]x^b) \cup \{0 \}[/mm]
> ? Ist es (q-1)*b? Wie lässt sich das verallgemeinern?
Die Charakteristik eines Ringes ist die seines Primringes, und der ist hier gleich [mm] $\IF_q$ [/mm] (da $q$ eine Primzahl ist). Also ist die Charakteristik gleich $q$.
LG Felix
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> Die Charakteristik eines Ringes ist die seines Primringes,
> und der ist hier gleich [mm]\IF_q[/mm] (da [mm]q[/mm] eine Primzahl ist).
> Also ist die Charakteristik gleich [mm]q[/mm].
Hi,
Die Aussage ist mir natürlich klar, aber wie soll das Argument funktionieren? Die Charakteristik von [mm] $\IZ/(n)[x]/(x^b) [/mm] $ ist doch auch dann $ n $, wenn $ n $ nicht prim ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:49 Mi 16.04.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt,
> > Die Charakteristik eines Ringes ist die seines Primringes,
> > und der ist hier gleich [mm]\IF_q[/mm] (da [mm]q[/mm] eine Primzahl ist).
> > Also ist die Charakteristik gleich [mm]q[/mm].
>
> Die Aussage ist mir natürlich klar, aber wie soll das
> Argument funktionieren? Die Charakteristik von
> [mm]\IZ/(n)[x]/(x^b)[/mm] ist doch auch dann [mm]n [/mm], wenn [mm]n[/mm] nicht prim
> ist.
das Bild des kanonischen Morphismus [mm] $\IZ \to [/mm] R$ liegt immer im Primring, weil das Bild genau der Primring ist  Damit ist die Charakteristik des Primringes (wenn man die Charakteristik ueber den Kern des einzigen Morphismus [mm] $\IZ \to [/mm] R$ definiert) gleich der vom ganzen Ring.
Und ja, damit ist die Charakteristik von [mm] $(\IZ/\langle [/mm] n [mm] \rangle)[x]/\langle x^b \rangle$ [/mm] ebenfalls gleich $n$, egal welchen Wert $n [mm] \ge [/mm] 0$ hat.
LG Felix
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Hi,
Mir ging es nur um das " weil $ q $ eine Primzahl ist". Aber ist auch nicht so wild
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> Wie lässt sich das verallgemeinern?
Hi,
Verallgemeinern lässt es sich folgendermaßen: Ist [mm] $\psi\colon R\longrightarrow [/mm] R'$ ein Ringhomomorphismus, so teilt die Charakteristik von $R'$ die Charakteristik von $R$. Falls [mm] $\psi$ [/mm] injektiv ist, gilt sogar Gleichheit.
In deinem Beispiel ist der kanonische Pfeil [mm] $\IZ/(n)\longrightarrow\IZ/(n)[x]\longrightarrow\IZ/(n)[x]/(x^b)$ [/mm] offensichtlich injektiv, insbesondere für $n=q$ prim.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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