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Char. Polynom umformen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Mi 05.09.2012
Autor: PaulW89

Aufgabe
Es seien
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & -2 \\ 1 & \bruch{7}{2} & 1 \\ -2 & 1 & 2 }, \vec{x}=\vektor{2\\-1\\2}. [/mm]
a) Ist [mm] \vec{x} [/mm] ein Eigenvektor der Matrix A? Wie lautet der zugehörige Eigenwert?
b) Bestimmen Sie alle anderen Eigenvektoren. Führen Sie eine Probe durch.


Hallo,

hier geht es um Aufgabenteil b). Da ich mir jedoch nicht sicher bin, ob Aufgabenteil a) nicht vielleicht zur Lösung beiträgt, habe ich ihn oben mit aufgeführt.
(Als Eigenvektor habe ich [mm] \vektor{-1\\\bruch{1}{2}\\-1} [/mm] ermittelt, also lautet der Eigenwert [mm] \lambda_{1}=-2 [/mm] .)


Mein charakteristisches Polynom von A lautet:
[mm] 0=-\lambda^{3}+\bruch{15}{2}\lambda^{2}-12\lambda-8 [/mm]
(EDIT: [mm] -12\lambda [/mm] statt [mm] -14\lambda.) [/mm]

Es handelt sich um eine alte Klausuraufgabe, daher muss das irgendwie ohne CAS/TR lösbar sein. Muss ich hier wirklich die Nullstellen raten, oder gibt es eine schönere Umformung, die ich verpasst habe? Hilft mir das Ergebnis aus Aufgabenteil a) hier in irgendeiner Form?

Hier nochmal das Polynom, bevor ich es komplett ausmultipliziert habe:
[mm] 0=(\bruch{7}{2}-\lambda)[(2-\lambda)^{2}-4]-8 [/mm]

Vielen Dank für euren Input sagt
Paul!

        
Bezug
Char. Polynom umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mi 05.09.2012
Autor: teo

Hallo,

ich habe jetzt das charakteristische Polynom nicht nachgerechnet. Aber mit dem Aufgabenteil a) hast du ja bereits einen Eigenwert, also eine Nullstelle des Charakteristischen Polynoms. Ich würde also einfach mal eine Polynomdivision machen und schauen was rauskommt...

Edit: Habs doch ausgerechnet. Das charakteristische Polynom stimmt nicht und auch der Eigenwert aus a) stimmt nicht.

Grüße

Bezug
                
Bezug
Char. Polynom umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:38 Mi 05.09.2012
Autor: PaulW89

Hallo,

danke für den Denkanstoß! Natürlich, die Nullstelle muss ich garnicht raten, ich kenne sie bereits.
Vorrausgesetzt, ich berechne sie richtig.
Dass ich Mist gerechnet habe, ist mir auch gerade aufgefallen. :o)

Die Frage kann als beantwortet gelten, ich mach mich mal ans rechnen.

Gruß!
Paul

Bezug
        
Bezug
Char. Polynom umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:41 Mi 05.09.2012
Autor: teo

Hallo,

damit man nicht selbst rechnen muss bzw. zur []Kontrolle

Grüße

Bezug
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