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| Aufgabe | Anton und Bernd werfen mit Pfeilen auf eine sich drehende Scheibe, die aus roten und grünen Feldern besteht.
Wer als erster mit einem Pfeil ein grünes Feld trifft, hat gewonnen. Anton beginnt.
Aufgabe:
Legen Sie das Flächenverhältnis (Rot - Grün) und die Wurf-Reihenfolge so fest, dass beide Spieler die gleiche (fifty-fifty) Chance haben. |
Am einfachsten wäre ja: Rot und Grün sind gleichmäßig verteilt (also je 50%). Falls Anton beim ersten Mal ROT wirft, darf Bernd so lange werfen, bis er GRÜN trifft.
Naja, aber ein solches Spiel macht irgendwie keinen Spaß.
Aber wie geht es dann??
Bei 25 % GRÜN und Reihenfolge A-B-B-B-A-A-A-B-B-B-A-A-A-....hätte Bernd leichte Vorteile.
Am schönsten wäre meines Erachtens die Reihenfolge A-B-B-A-A-B-B-A-A-...
Wieviel Prozent GRÜN müsste dann die Scheibe haben?
[mm] 0.5=g+(1-g)^{3}*g++(1-g)^{4}*g+(1-g)^{7}*g+(1-g)^{8}*g+...
[/mm]
Hey, aber wie groß ist dann g?
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> Anton und Bernd werfen mit Pfeilen auf eine sich drehende
> Scheibe, die aus roten und grünen Feldern besteht.
> Wer als erster mit einem Pfeil ein grünes Feld trifft, hat
> gewonnen. Anton beginnt.
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> Aufgabe:
> Legen Sie das Flächenverhältnis (Rot - Grün) und die
> Wurf-Reihenfolge so fest, dass beide Spieler die gleiche
> (fifty-fifty) Chance haben.
> Am einfachsten wäre ja: Rot und Grün sind gleichmäßig
> verteilt (also je 50%). Falls Anton beim ersten Mal ROT
> wirft, darf Bernd so lange werfen, bis er GRÜN trifft.
> Naja, aber ein solches Spiel macht irgendwie keinen Spaß.
>
> Aber wie geht es dann??
>
> Bei 25 % GRÜN und Reihenfolge
> A-B-B-B-A-A-A-B-B-B-A-A-A-....hätte Bernd leichte
> Vorteile.
>
> Am schönsten wäre meines Erachtens die Reihenfolge
> A-B-B-A-A-B-B-A-A-...
> Wieviel Prozent GRÜN müsste dann die Scheibe haben?
>
> [mm]0.5=g+(1-g)^{3}*g++(1-g)^{4}*g+(1-g)^{7}*g+(1-g)^{8}*g+...[/mm]
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> Hey, aber wie groß ist dann g?
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Hallo Ralph,
ich musste die Aufgabe dreimal lesen, bis ich (hoffentlich) verstanden habe, was da eigentlich genau gefragt ist.
Falls deine Gleichung für g zutrifft (habe ich nicht im einzelnen geprüft), dann kann man wohl ein g ausklammern und hat dann in der Klammer eine Summe von zwei geometrischen Reihen ?
Gruß al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Fr 18.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> ich musste die Aufgabe dreimal lesen, bis ich (hoffentlich)
> verstanden habe, was da eigentlich genau gefragt ist.
Sorry, wenn die Aufgabe unklar formuliert war.
Theoretisch müsste es unendlich viele Lösungen geben, weil man z.B. die Reihenfolge der Werfer willkürlich festlegen kann, und dann den prozentuellen Anteil der GRÜN-Fläche berechnet.
Oder umgekehrt: Man legt die GRÜN-Fläche fest (mit g<0.5), und "schnipselt" sich dann eine Reihenfolge zurecht, die sowohl Anton als auch Bernd gerecht wird.
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Nee, das Verständnisproblem war bei mir. Zuerst habe ich gemeint, dass das Werfen einfach schön nach dem Muster A-B-A-B-A-B-A-B... gehen soll; aber das kann ja nicht klappen, weil A immer einen Vorsprung behielte.
Den Fall A-B-B-A-A-B-B-A-A-B-B-A-A-B-B-A-A-... habe ich jetzt weiter verfolgt. Deine Gleichung für g stimmt natürlich, und ich habe die Summe der geometrischen Reihe bestimmt. Ich komme dann schliesslich (nach Umformungen) auf die Gleichung:
[mm] r^4 - 2 r^3 + 2 r - 1 = 0 [/mm] , wobei [mm] r = 1 - g = P[/mm](grün)
Dann kommt aber etwas merkwürdiges heraus: die Gleichung hat nur die Lösungen r=1 (Dreifachlösung) und r=-1 . Letzteres ist natürlich sinnlos, und die Lösung r=1 sagt, dass die Zielscheibe eine zu 100% rote Scheibe ist. Klar haben dann A und B wieder gleiche Chancen, aber nicht fifty-fifty sondern nought-at-all ! Und sooo spannend ist auch dieses Spiel nicht...
Vielleicht hat dich deine Intuition mit A-B-B-B-A-A-A-B-B-B-A-A-A-B-B-B-A-A-A-... nicht getäuscht. Versuchen wir's also einmal damit. Das sollte ebenfalls zu einer geometrischen Reihe führen.
Al-Ch.
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Hallo Ralph,
ich hab noch ein wenig weitergerechnet und finde z.B. folgende (nicht langweilige) Spielregeln:
1.) A-B-B-B-A-A-A-B-B-B-A-A-A-B-B-B- mit P(rot) = 0.61803... (goldener Schnitt !)
2.) A-B-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A- mit P(rot) = 0.7071... ([mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm])
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Fr 18.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast.
> 1.) A-B-B-B-A-A-A-B-B-B-A-A-A-B-B-B- mit P(rot) =
> 0.61803... (goldener Schnitt !)
Das finde ich sehr interessant, dass da letztlich so ein "einfaches" Ergebnis (goldener Schnitt) rauskommt.
Naja, in der "Praxis" macht es bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen meines Erachtens wenig Sinn, das Ergebnis dermaßen genau zu ermitteln. Im allgemeinen wird es ausreichen, die Prozente auf eine Stelle nach dem Komma zu ermitteln. (Wenn es beim Lotto statt 49 Zahlen nur 47 geben würde, dann wären die Chancen auf einen Sechser rechnerisch zwar größer, aber deshalb würde es in Deutschland trotzdem nicht von Lottomillionären wimmeln)
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