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| Aufgabe | Es sei V := span{cos, sin} [mm] \subset [/mm] Abb(R,R) und : V --> V sei definiert durch [mm] \delta (f) [/mm] = f´.
Finden Sie ein Polynom p aus R[x] derart, dass [mm] p(\delta) [/mm] = 0. |
Hallo!
Also ich weiß mittlerweile dass das das charakteristische Polynom sein muss, dasist ja doch den Satz von Cavley_Hamilton bewiesen. aber ich weiß ehrlich gesagt gar nicht wie ich hiervon das charakteristische polynom bilen kann.
Wenn ich mir den Spann noch weiter angucke, dann fällt mir noch auf dass das ja eigentlich beim ableiten gleich bleibt oder? aus sin wird cos und aus cos wird - sin, aber für den span ist das vorzeichen ja unerheblich oder?
naja wäre aufjednfall nett wenn mir jemand mal genau erklären könnte wie ich hier auf das charakteristische Polynom komme.
danke lg HansPeter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 29.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Funktionen $cos$ und $sin$ bilden eine Basis des Vektorraumes V
Es ist
[mm] $\delta(cos) [/mm] = -sin = 0*cos +(-1)*sin$ und [mm] $\delta(sin) [/mm] = cos= 1*cos + 0*sin$
Also geöhrt zu [mm] \delta [/mm] die Abbildungsmatrix
$A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$
[/mm]
Das char. Polynom ist nun
[mm] $det(\lambda [/mm] I -A)$
FRED
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| Aufgabe | b) Wiederholen Sie Aufgabe a) für V = R2[x] und : R2[x] --> R2[x] mit
[mm] \delta(f) [/mm] = f´ + f(0). |
Wunderbar. das hat schonmal geklappt. hab als polynom x²+1 rausbekommen und die Probe hat gezeigt, dass das Polnom die geforderte Bedingung erfüllt.
das Prinzip hab ich schonmal verstanden aber bei Aufgabe 2 bin ich mir beim Aufstellen der Abbildungsmatrix noch ein bisschen unsicher.
[mm] \delta(q0) [/mm] = q0
[mm] \delta(q1) [/mm] = q1+ q0
[mm] \delta(q2) [/mm] = 2*q2x + +q1 + q0
also habe ich dann als Matrix:
0 0 1
0 1 1
2 1 1
könnt ihr mal bitte drüberschaun und ggf verbessern?
danke schonmal!
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> b) Wiederholen Sie Aufgabe a) für V = R2[x] und : R2[x]
> --> R2[x] mit
> [mm] \delta(f)[/mm] = f´ + f(0).
> Wunderbar. das hat schonmal geklappt. hab als polynom x²+1
> rausbekommen und die Probe hat gezeigt, dass das Polnom die
> geforderte Bedingung erfüllt.
>
> das Prinzip hab ich schonmal verstanden aber bei Aufgabe 2
> bin ich mir beim Aufstellen der Abbildungsmatrix noch ein
> bisschen unsicher.
> [mm]\delta(q0)[/mm] = q0
> [mm]\delta(q1)[/mm] = q1+ q0
> [mm]\delta(q2)[/mm] = 2*q2x + +q1 + q0
>
>
> also habe ich dann als Matrix:
> 0 0 1
> 0 1 1
> 2 1 1
>
> könnt ihr mal bitte drüberschaun und ggf verbessern?
> danke schonmal!
>
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Hallo,
solange Du nicht verrätst, was Du mit q2, q1, q0 meinst, fällt die Entscheidung, ob's richtig oder falsch ist, ziemlich schwer...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Mi 29.04.2009 | | Autor: | HansPeter |
sorry
ich meine mit
q0 = a0
q1= a0 +a1*x
q2 = a0 + a1*x + a2*x²
...
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> b) Wiederholen Sie Aufgabe a) für V = R2[x] und : R2[x]
> --> R2[x] mit
> [mm] \delta(f)[/mm] = f´ + f(0).
> Wunderbar. das hat schonmal geklappt. hab als polynom x²+1
> rausbekommen und die Probe hat gezeigt, dass das Polnom die
> geforderte Bedingung erfüllt.
>
> das Prinzip hab ich schonmal verstanden aber bei Aufgabe 2
> bin ich mir beim Aufstellen der Abbildungsmatrix noch ein
> bisschen unsicher.
Hallo,
für die Abbildungsmatrix brauchen wir ja erstmal eine bBasis bzgl. welcher sie sein soll.
Du nimmst lt. Deiner Mitteilung [mm] B=(q_0, q_1, q_2) [/mm] mit
> q0 = a0
> q1= a0 +a1*x
> q2 = a0 + a1*x + a2*x² .
Das ist ein bißchen vage: kein Mensch weiß, was Du Dir unter den [mm] a_i [/mm] vorstellst und für gewisse [mm] a_i [/mm] ist das auch gar keine Basis.
Aber gegen die Wahl von beispielsweise
[mm] q_0:=1
[/mm]
[mm] q_1=1+x
[/mm]
[mm] q_2=1+x+x^2 [/mm]
gäbe es nichts einzuwenden.
(Allerdings wäre die Standardbasis [mm] (1,x,x^2) [/mm] auch nicht zu verachten...)
Ich rechne jetzt mal [mm] \delta(q_2) [/mm] aus:
[mm] \delta(q_2)= q_2' +q_2(0)=1+2x+1=2(x+1)=2*q_1=0*q_0+2*q_1+0*q_2
[/mm]
Die dritte Spalte der Darstellungsmatrix bzgl B wäre also [mm] \vektor(0\\2\\0).
[/mm]
> [mm]\delta(q0)[/mm] = q0
> [mm]\delta(q1)[/mm] = q1+ q0
> [mm]\delta(q2)[/mm] = 2*q2x + +q1 + q0
Irgendwie scheinst Du hier ein Durcheinander mit Deinen eigenen [mm] q_i [/mm] und [mm] a_i [/mm] veranstaltet zu haben.
Mach's einfach nochmal mit 'ner richtigen Basis.
Gruß v. Angela
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ja hast recht da hab ich mich wohl wirklich ziemlich verwurschtelt.
hab also dann für die erste spalte:
[mm] \delta(q0) [/mm] = 1 = 1*q0
für die zweite Spalte:
[mm] \delta(q1) [/mm] = 1+1= 2 = 2 * q0
also ergibt sich als Abbildungsmatrix:
1 2 0
0 0 2
0 0 0
ja?
weil ab da bekomm ich das dann mit dem charakteristischen polynpom usw hin..
danke euch beiden schonmal!
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> ja hast recht da hab ich mich wohl wirklich ziemlich
> verwurschtelt.
> hab also dann für die erste spalte:
Hallo,
Du nimmst jetzt also B als Basis:
> [mm]\delta(q0)[/mm] = 1 = 1*q0
> für die zweite Spalte:
> [mm]\delta(q1)[/mm] = 1+1= 2 = 2 * q0
>
> also ergibt sich als Abbildungsmatrix:
> 1 2 0
> 0 0 2
> 0 0 0
>
> ja?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mi 29.04.2009 | | Autor: | HansPeter |
DAAAANKE
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Hallo, wie hast du denn die Probe durchgeführt? Mir ist nicht ganz klar, wie man das jetzt einsetzen kann...
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> Hallo, wie hast du denn die Probe durchgeführt? Mir ist
> nicht ganz klar, wie man das jetzt einsetzen kann...
Hallo,
Du hast die Matrix $ A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] $ mit den charakteristischen Polynom [mm] p(x)=x^2 +1=x^2+1x^0
[/mm]
Es ist [mm] p(A)=A^2+1A^0=A^2+E=A*A [/mm] + E= 0.
Gruß v. Angela
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