Cauchysche Funktionalgleichung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | | Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion, die $f(x+y) = f(x) + f(y)$ für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllt. Zeigen Sie, dass es ein [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gibt mit $f(x) = [mm] \lambda [/mm] x$ für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] |
hallo
wäre es möglich das jemand mal meine aufgabe durchschaut und mir sagt wo ich etwas zu ungenau aufgeschrieben habe oder ob man das so lassen kann (falls es richtig ist)
$f(0) = f(0 - 0) = 0$
$f(x - x) = f(x) + f(-x) = 0 [mm] \gdw [/mm] f(-x) = -f(x)$ (Punktsymmetrie)
Sei $a [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow a} [/mm] (x - a) = 0 [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x - a) = 0$ (wegen stetigkeit in 0)
Damit gilt: $f(x - a) = f(x) - f(a) [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a)$
Sei $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
$f(n) = f(1 + ... + 1) = f(1) + ... + f(1) = n f(1) = n [mm] \lambda$ [/mm] (also $f(1)= [mm] \lambda$)
[/mm]
$f(1) = [mm] f(\bruch{1}{n} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] + ... + [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] = n [mm] f(\bruch{1}{n}) \gdw f(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] f(1) = [mm] \lambda \bruch{1}{n}$
[/mm]
Sei $z [mm] \in \IZ$:
[/mm]
$f(-z) = f(-1 - ... - 1) = f(-1) + ... + f(-1) = z f(-1)$ = -z f(1) = -z [mm] \lambda
[/mm]
Sei $q, p [mm] \in \IQ$:
[/mm]
[mm] $f(\bruch{p}{q}) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{q}+...+\bruch{1}{q}) [/mm] = p [mm] f(\bruch{1}{q}) [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] f(1) = [mm] \bruch{p}{q} \lambda$
[/mm]
für den letzten teil benutze ich, dass jede reelle zahl grenzwert einer folge rationaler zahlen ist, also [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
Sei [mm] r_n \in \IQ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} r_n [/mm] = x$
[mm] \underbrace{\Rightarrow}_{f stetig} [/mm] $f(x) = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} r_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} r_n [/mm] f(1) = x f(1) = [mm] \lambda [/mm] x$
danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Sieht sehr gut aus.
Manche Sachen stehen da so etwas unbeholfen rum (z.B. dass [mm] f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}f(1) [/mm] ist), aber alles was du zeigen müsstest, hast du gezeigt.
Ich persönlich würde es so machen (du kannst es natürlich anders machen), dass ich es von den "einfachen" Zahlbereichen [mm] (\IN, \IZ) [/mm] zu den "komplizierteren" [mm] (\IQ) [/mm] und schließlich [mm] \IR [/mm] hochziehe. Soll heißen:
- Zeigen, dass es für [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
- f(z)=-f(-z) zeigen.
- Zeigen, dass es für [mm] z\in \IZ [/mm] gilt. z.B. mit der Fallunterscheidung z>0 (wurde schon gezeigt) und z<0 (z.B. f(z)=-f(-z)=...=-(-z)f(1)=zf(1)).
- Zeigen, dass es für [mm] \frac{1}{q} [/mm] mit q [mm] \in \IZ\backslash \{0\} [/mm] gilt.
- Zeigen, dass es für r [mm] \in \IQ [/mm] gilt.
- Zeigen, dass es für x [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Das hast du alles da stehen, aber meiner Meinung nach noch etwas zu durcheinander. Auch hättest du $ f(x - a) = f(x) - f(a) [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a) $ nicht zeigen brauchen, da f ja sowieso schon als stetig vorausgesetzt ist und deine Folgerung dazu äquivalent ist (Folgenkriterium).
Mir ist auch noch ein alternativer Weg eingefallen, das für [mm] x\in \IR [/mm] zu zeigen. Du kannst auch den Differenzialquotienten an einer Stelle x anschauen. Dann hast du
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(1)=f(1), d.h. f'(x)=f(1) für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Damit würde dann auch das Gewünschte folgen. Das soll jetzt aber keine Kritik sein, ich fand es nur spannend, dass man auch die Ableitung gut einbauen kann. :) Dein Weg ist jedoch der kürzere und für mich schönere.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
ok, vielen dank :D
habe es einfach so von meinem blatt abgeschrieben, werde dann drauf achten es bei der reinschrift besser zu ordnen
das problem mit der ableitung zu lösen wäre mir ehrlich gesagt gar nicht aufgefallen :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Mir ist auch noch ein alternativer Weg eingefallen, das
> für [mm]x\in \IR[/mm] zu zeigen. Du kannst auch den
> Differenzialquotienten an einer Stelle x anschauen. Dann
> hast du
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> f(1)=f(1), d.h. f'(x)=f(1) für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Damit
> würde dann auch das Gewünschte folgen. Das soll jetzt
> aber keine Kritik sein, ich fand es nur spannend, dass man
> auch die Ableitung gut einbauen kann. :) Dein Weg ist
> jedoch der kürzere und für mich schönere.
das ist mit Vorsicht zu genießen: Dazu musst Du erstmal aus der Stetigkeit
von [mm] $f\,$ [/mm] und der Eigenschaft [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ [/mm] folgern, dass die
dortstehende Funktion auch differenzierbar ist!
P.S.
Vielleicht klärt sich das aber auch direkt:
Wie kommst Du zu [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=f(1)\,$? [/mm]
Denn wenn Du das formal begründest, ist Dein Weg okay! Es reicht also,
nachzurechnen, dass [mm] $f\,'(0)\,$ [/mm] existiert mit [mm] $f\,'(0)=f(1)\,.$
[/mm]
P.P.S.
Ha, ich kapier's: Du willst [mm] $f(h)/h=h*f(1)/h\,$ [/mm] für $h [mm] \in \IR$ [/mm] ausnutzen.
Aber irgendwie scheint's mir so, als wenn Du hier eine Eigenschaft
ausnutzen willst, auf die Du eigentlich schließen willst. Oder schreib's mal
bitte genau auf, wie Du Dir das denkst. Denn ich sehe eigentlich nur, dass
man das von Dir gesagte "umständlich" folgern kann, so wie Du es tust,
wenn man alles vorangegangene getan hat, wie's getan wurde. Das ist
deswegen umständlich, weil, wenn ich schon nachgerechnet habe, dass
mit [mm] $\lambda:=f(1)\,$ [/mm] auch [mm] $f(x):=\lambda*x$ [/mm] gilt, es kein Kunststück ist,
[mm] $f\,'(x) \equiv \lambda=f(1)$ [/mm] nachzuweisen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du hast Recht, meine Variante war nicht ganz sauber. Da habe ich zu wenig drüber nachgedacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Hallo!
>
> Sieht sehr gut aus.
>
> Manche Sachen stehen da so etwas unbeholfen rum (z.B. dass
> [mm]f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}f(1)[/mm] ist), aber alles was du
> zeigen müsstest, hast du gezeigt.
wieso unbeholfen? Es ist formal unschön aufgeschrieben (damit meine ich
nicht, dass keine Summenzeichen verwendet werden, sondern vielmehr,
dass man durchaus Text oder ein paar Symbole ergänzen kann!), aber er
hat's richtig gerechnet und begründet:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
[mm] $$f(1)=f(n/n)=f(\sum_{k=1}^n (1/n))=\sum_{k=1}^n f(1/n)=n*f(1/n)\,,$$
[/mm]
und daraus folgert er ohne Umschweife (Division durch [mm] $n\,$)
[/mm]
[mm] $$1/n=f(1/n)\,.$$
[/mm]
Ist okay!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Natürlich steht alles richtig da, aber es bestanden eben - für meinen Geschmack - zu wenig Verbindungen zwischen den Sachen. Und die ungünstige Reihenfolge hat das verstärkt. Erst wird es für n\ in [mm] \IN [/mm] gezeigt, dann wird das plötzlich für einen speziellen Bruch gezeigt, danach dann für die ganzen Zahlen und später für allgemeine Brüche, wobei man dann die eine Beobachtung braucht, die zwischen natürlichen und ganzen Zahlen gemacht wurde.
Ich würde da als Korrekteur auch nichts abziehen, denn wie gesagt: es steht alles da.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Natürlich steht alles richtig da, aber es bestanden eben -
> für meinen Geschmack - zu wenig Verbindungen zwischen den
> Sachen. Und die ungünstige Reihenfolge hat das verstärkt.
> Erst wird es für n\ in [mm]\IN[/mm] gezeigt, dann wird das
> plötzlich für einen speziellen Bruch gezeigt, danach dann
> für die ganzen Zahlen und später für allgemeine Brüche,
> wobei man dann die eine Beobachtung braucht, die zwischen
> natürlichen und ganzen Zahlen gemacht wurde.
okay. Diese Kritik ist eine andere wie die, die ich vorher sah. Oder sagen
wir mal: Eventuell hatte ich Deine alte Kritik dann missinterpretiert. Es geht
Dir also mehr ums "saubere Aufziehen" - das könnte man in der Tat
schöner machen. Aber die Reihenfolge, wie sie hier vorgeschlagen wurde,
halte ich dennoch auch für logisch korrekt. Warum soll man denn direkt von
[mm] $\IN$ [/mm] auf [mm] $\IZ$ [/mm] schließen? Ich find's genauso okay, erstmal von [mm] $\IN$ [/mm] auf
"spezielle Brüche der Form [mm] $1/n\,$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$" [/mm] zu schließen. Die einzige
Verbindung, wo man wirklich etwas schöner machen kann, ist eigentlich
bei der Bearbeitung bzgl. [mm] $\IQ\,.$ [/mm] Aber das wurde ja eh nachträglich nun
geklärt, denke ich. Vielleicht reden aber auch wir beide ein wenig
aneinander vorbei - mir kommt's jedenfalls so vor, als wenn Du was
anderes meinst als das, was ich verstehe. 
> Ich würde da als Korrekteur auch nichts abziehen, denn wie
> gesagt: es steht alles da.
Wenn ich Dich missverstehe und's Dir wichtig ist, das zu klären, klär' mich
bitte noch auf. Ansonsten sehen wir das weitesgehend schon ähnlich,
denke ich. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:03 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau, es ging mir um die Reihenfolge. Aber nein, es ist mir nicht so wichtig. :) Es ist nur meine persönliche Präferenz, aber über Geschmack lässt sich nicht streiten. Ich würde eben nur zuerst die ganzen Zahlen allein abdecken und später danach erst zu [mm] \IQ [/mm] übergehen, mit allem, was dazu gehört.
Wie dem auch sei, wir sind uns einig, dass die Aufgabe nun aber gut gelöst wurde, egal, wann die speziellen Brüche eingeschoben werden. ;)
Nun geh ich aber mal schlafen. Ich bin ja auch fast ganz allein hier um diese Uhrzeit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hellfrog,
> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion, die [mm]f(x+y) = f(x) + f(y)[/mm]
> für alle [mm]x,y \in \IR[/mm] erfüllt. Zeigen Sie, dass es ein
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] gibt mit [mm]f(x) = \lambda x[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm].
>
>
> hallo
>
> wäre es möglich das jemand mal meine aufgabe durchschaut
> und mir sagt wo ich etwas zu ungenau aufgeschrieben habe
> oder ob man das so lassen kann (falls es richtig ist)
>
>
> [mm]f(0) = f(0 - 0) = 0[/mm]
>
> [mm]f(x - x) = f(x) + f(-x) = 0 \gdw f(-x) = -f(x)[/mm]
> (Punktsymmetrie)
>
>
> Sei [mm]a \in \IR[/mm]:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} (x - a) = 0 \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} f(x - a) = 0[/mm]
> (wegen stetigkeit in 0)
>
> Damit gilt: [mm]f(x - a) = f(x) - f(a) \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)[/mm]
>
> Sei [mm]n \in \IN[/mm]:
>
> [mm]f(n) = f(1 + ... + 1) = f(1) + ... + f(1) = n f(1) = n \lambda[/mm]
> (also [mm]\red{f(1)= \lambda}[/mm])
das rotgeschriebene ist eigentlich das einzige, was ich wirklich ein wenig anders aufschreiben würde. Das ist "Schmierzettelformalismus" so, wie Du es schreibst. Wobei es auch okay ist - denn was Du machst, ist, zu sagen:
Wenn denn [mm] $f(x)=\lambda*x$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt, dann muss [mm] $\lambda=f(1)$ [/mm]
sein. Das folgt aus [mm] $f(n)=f(\sum_{k=1}^n 1)=\sum_{k=1}^n f(1)=n*f(1)=f(1)*n\,.$
[/mm]
Aber so will man das im Beweis doch eigentlich gar nicht in dieser Richtung
verwenden. Das ist eher eine Vorüberlegung, in der Du zeigst: Wenn die
Aussage in der Aufgabe wirklich stimmt, dann kann nur [mm] $\lambda=f(1)\,$ [/mm] sein. (Eine andere Wahl für [mm] $\lambda$ [/mm] kommt gar nicht in Frage!)
(Schmierzettelformalismus ist das deswegen, weil man damit eigentlich
überlegt: "Welche Wahlmöglichkeiten für [mm] $\lambda$ [/mm] existieren denn?"
Und da man dann rausfindet, dass es nur eine gibt, ist nachzuweisen,
dass diese Wahl für [mm] $\lambda$ [/mm] auch in der Tat das Gewünschte leistet!)
Im Beweis geht man das ganze eher so an:
Es sei [mm] $f\,$ [/mm] wie vorgegeben. Wir definieren [mm] $\lambda:=f(1)$ [/mm] (Anmerkung: Wenn Du "nett" bist,
dann verlierst Du halt ein paar Worte drüber, warum Du [mm] $\lambda$ [/mm] so definiert hast - z.B. in einer Fußnote. Aber
zwingend erklären musst Du das nicht!) und zeigen nun, dass dann in der Tat [mm] $f(x)=\lambda*x$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt!
.
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.
Aber das ist nur eine "stilmäßige" Kritik.
P.S.
Die Folgerung, dass, wenn wirklich [mm] $f(x)=\lambda [/mm] *x$ gilt, dann auch
[mm] $\lambda=f(1)\,$ [/mm] sein muss (also die "Fußnote"), geht noch viel schneller:
Aus [mm] $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=f(1)*2\,$ [/mm] folgt natürlich insbesondere, dass dann nur [mm] $\lambda=f(1)\,$ [/mm] als Wahl für [mm] $\lambda$ [/mm] in Frage kommt. Aber
aus Gründen der Wiederverwertbarkeit würde ich in der Fußnote doch dazu
neigen, [mm] $f(n)=n*f(1)\,$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] "vorzurechnen".
P.P.S.
Eine Kleinigkeit hätte ich doch auch noch anders aufgeschrieben:
> [mm] $f(0)=f(0-0)=0\,.$
[/mm]
Das ist total unklar, was Du da wie folgerst - es geht, weil halt [mm] $-0=0\,$ [/mm]
ist. Aber in Deinem Aufschrieb erkennt man gar nicht, warum [mm] $f(0)=0\,$
[/mm]
denn nun gilt. Dabei geht's so klar:
Aus $0=0+0$ folgt [mm] $f(0)=f(0+0)\,$ [/mm] und damit [mm] $f(0)=f(0)+f(0)\,.$ [/mm] Dies liefert
sodann [mm] $0=f(0)-f(0)=(f(0)+f(0))-f(0)=f(0)+(f(0)-f(0))=f(0)+0=f(0)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion, die [mm]f(x+y) = f(x) + f(y)[/mm]
> für alle [mm]x,y \in \IR[/mm] erfüllt. Zeigen Sie, dass es ein
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] gibt mit [mm]f(x) = \lambda x[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm].
>
>
> hallo
>
> wäre es möglich das jemand mal meine aufgabe durchschaut
> und mir sagt wo ich etwas zu ungenau aufgeschrieben habe
> oder ob man das so lassen kann (falls es richtig ist)
>
>
> [mm]f(0) = f(0 - 0) = 0[/mm]
>
> [mm]f(x - x) = f(x) + f(-x) = 0 \gdw f(-x) = -f(x)[/mm]
> (Punktsymmetrie)
>
>
> Sei [mm]a \in \IR[/mm]:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} (x - a) = 0 \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} f(x - a) = 0[/mm]
> (wegen stetigkeit in 0)
>
> Damit gilt: [mm]f(x - a) = f(x) - f(a) \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)[/mm]
>
> Sei [mm]n \in \IN[/mm]:
>
> [mm]f(n) = f(1 + ... + 1) = f(1) + ... + f(1) = n f(1) = n \lambda[/mm]
> (also [mm]f(1)= \lambda[/mm])
>
> [mm]f(1) = f(\bruch{1}{n} + ... + \bruch{1}{n}) = f(\bruch{1}{n}) + ... + f(\bruch{1}{n}) = n f(\bruch{1}{n}) \gdw f(\bruch{1}{n}) = \bruch{1}{n} f(1) = \lambda \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Sei [mm]z \in \IZ[/mm]:
>
> [mm]f(-z) = f(-1 - ... - 1) = f(-1) + ... + f(-1) = z f(-1)[/mm] =
> -z f(1) = -z [mm]\lambda[/mm]
>
> Sei [mm]q, p \in \IQ[/mm]:
>
> [mm]f(\bruch{p}{q})[/mm]
hier willst Du sicher nicht $q, p [mm] \in \IQ$ [/mm] haben, sondern $p/q [mm] \in \IQ$ [/mm] oder
$p [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q [mm] \in \IN\,.$ [/mm] (Jede Zahl $t [mm] \in \IQ$ [/mm] hat eine Darstellung
(nicht eindeutig!) [mm] $t=p/q\,$ [/mm] mit $p [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q [mm] \in \IN\,.$)
[/mm]
> für den letzten teil benutze ich, dass jede reelle zahl grenzwert einer
> folge rationaler zahlen ist, also $ [mm] \IQ [/mm] $ dicht in $ [mm] \IR [/mm] $ liegt.
> Sei $ [mm] r_n \in \IQ [/mm] $ mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} r_n [/mm] = x $
Da ist's unsauber aufgeschrieben: Es fehlt schon, dass $x [mm] \in \IR$ [/mm] sein
soll. Danach schreibst Du dann dazu, dass, weil [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt,
es eine Folge [mm] $(r_n)_n \in \IQ^{\IN}$ [/mm] so gibt, dass [mm] $r_n \to x\,.$ [/mm] Jetzt
kannst Du dann alles weiter so hinschreiben wie getan:
[mm] $$f(x)=f(\lim r_n)=...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
> Hallo,
>
> > Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion, die [mm]f(x+y) = f(x) + f(y)[/mm]
> > für alle [mm]x,y \in \IR[/mm] erfüllt. Zeigen Sie, dass es ein
> > [mm]\lambda \in \IR[/mm] gibt mit [mm]f(x) = \lambda x[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm].
>
> >
> >
> > hallo
> >
> > wäre es möglich das jemand mal meine aufgabe durchschaut
> > und mir sagt wo ich etwas zu ungenau aufgeschrieben habe
> > oder ob man das so lassen kann (falls es richtig ist)
> >
> >
> > [mm]f(0) = f(0 - 0) = 0[/mm]
> >
> > [mm]f(x - x) = f(x) + f(-x) = 0 \gdw f(-x) = -f(x)[/mm]
> > (Punktsymmetrie)
> >
> >
> > Sei [mm]a \in \IR[/mm]:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow a} (x - a) = 0 \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} f(x - a) = 0[/mm]
> > (wegen stetigkeit in 0)
> >
> > Damit gilt: [mm]f(x - a) = f(x) - f(a) \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)[/mm]
>
> >
> > Sei [mm]n \in \IN[/mm]:
> >
> > [mm]f(n) = f(1 + ... + 1) = f(1) + ... + f(1) = n f(1) = n \lambda[/mm]
> > (also [mm]f(1)= \lambda[/mm])
> >
> > [mm]f(1) = f(\bruch{1}{n} + ... + \bruch{1}{n}) = f(\bruch{1}{n}) + ... + f(\bruch{1}{n}) = n f(\bruch{1}{n}) \gdw f(\bruch{1}{n}) = \bruch{1}{n} f(1) = \lambda \bruch{1}{n}[/mm]
>
> >
> > Sei [mm]z \in \IZ[/mm]:
> >
> > [mm]f(-z) = f(-1 - ... - 1) = f(-1) + ... + f(-1) = z f(-1)[/mm] =
> > -z f(1) = -z [mm]\lambda[/mm]
> >
> > Sei [mm]q, p \in \IQ[/mm]:
> >
> > [mm]f(\bruch{p}{q})[/mm]
>
> hier willst Du sicher nicht [mm]q, p \in \IQ[/mm] haben, sondern [mm]p/q \in \IQ[/mm]
> oder
> [mm]p \in \IZ[/mm] und [mm]q \in \IN\,.[/mm] (Jede Zahl [mm]t \in \IQ[/mm] hat eine
> Darstellung
> (nicht eindeutig!) [mm]t=p/q\,[/mm] mit [mm]p \in \IZ[/mm] und [mm]q \in \IN\,.[/mm])
ja da hast du vollkommen recht, ist mir garnicht mehr aufgefallen beim durchlesen
>
> > für den letzten teil benutze ich, dass jede reelle zahl
> grenzwert einer
> > folge rationaler zahlen ist, also [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt.
>
> > Sei [mm]r_n \in \IQ[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} r_n = x[/mm]
>
> Da ist's unsauber aufgeschrieben: Es fehlt schon, dass [mm]x \in \IR[/mm]
> sein
> soll. Danach schreibst Du dann dazu, dass, weil [mm]\IQ[/mm] dicht
> in [mm]\IR[/mm] liegt,
> es eine Folge [mm](r_n)_n \in \IQ^{\IN}[/mm] so gibt, dass [mm]r_n \to x\,.[/mm]
ich ging von der aufgabenstellung aus, wo ja schon $x [mm] \in \IR$ [/mm] vorgegeben war, aber es sieht besser aus wenn ich es hier einfach nochmal erwähne.
> Jetzt
> kannst Du dann alles weiter so hinschreiben wie getan:
> [mm]f(x)=f(\lim r_n)=...[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
vielen vielen dank nochmal für die ganzen anmerkungen, ist genau das an was ich unbedingt arbeiten muss :)
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