Cauchys Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mo 05.10.2009 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Bestimmen sie das folgende Kurvenintegral entlang [mm] \gamma [/mm] mit Hilfe von Cauchy's Theorem und Cauchy's Integralformeln.
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{e^z}{(z-2)^3} dz}, [/mm] wobei [mm] \gamma(t)=e^{it}, 0\le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm] |
hallo zusammen,
kommen mit obigem Integral nicht ganz zurecht. Das bild von Gamma ist ja der Einheitskreis, der ja offensichtlich den Punkt 2 nicht enthält. Ich glaube Chauchy's Intergralformeln für Kreise kann ich ja nicht ohne weiteres anwenden. Aber ebenso wenig Cauchy's Theorem über die Ableitung, da die ja der Punkt 2 nicht im inneren des Kreises liegt, sondern außerhalb.
Aber sicher bin ich mir dabei auch nicht...hoffe ich habe das richtig verstanden.
Vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen....ich komme damit leider nicht zurecht.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
Liebe Grüße, die Kittie
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Hallo kittie,
> Bestimmen sie das folgende Kurvenintegral entlang [mm]\gamma[/mm]
> mit Hilfe von Cauchy's Theorem und Cauchy's
> Integralformeln.
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> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{e^z}{(z-2)^3} dz},[/mm] wobei
> [mm]\gamma(t)=e^{it}, 0\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm]
> hallo zusammen,
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> kommen mit obigem Integral nicht ganz zurecht. Das bild von
> Gamma ist ja der Einheitskreis, der ja offensichtlich den
> Punkt 2 nicht enthält. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich glaube Chauchy's
> Intergralformeln für Kreise kann ich ja nicht ohne
> weiteres anwenden. Aber ebenso wenig Cauchy's Theorem über
> die Ableitung, da die ja der Punkt 2 nicht im inneren des
> Kreises liegt, sondern außerhalb.
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> Aber sicher bin ich mir dabei auch nicht...hoffe ich habe
> das richtig verstanden.
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> Vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen....ich
> komme damit leider nicht zurecht.
Hmm, ich denke, die Funktion [mm] $\frac{e^z}{(z-2)^3}$ [/mm] ist auf der gesamten Einheitskreisscheibe inkl. Rand holomorph, [mm] $\gamma$ [/mm] ist ein geschlossener Integrationsweg, damit ist doch das Integral =0 oder übersehe ich da irgendwas??
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> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
>
> Liebe Grüße, die Kittie
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Di 06.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hmm, ich denke, die Funktion [mm]\frac{e^z}{(z-2)^3}[/mm] ist auf
> der gesamten Einheitskreisscheibe inkl. Rand holomorph,
> [mm]\gamma[/mm] ist ein geschlossener Integrationsweg, damit ist
> doch das Integral =0 oder übersehe ich da irgendwas??
Das sehe ich genauso.
Alternativ kann man auch erst die Residuen bestimmen, aber man sieht ja sofort dass die einzigen nicht-trivialen Residuen ausserhalb des Einheitskreis liegen (es gibt nur eins, naemlich bei $z = 2$). Insofern summiert man bei der Cauchyschen Integralformel ueber gar nichts, und es kommt 0 raus.
LG Felix
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