Cauchyprodukt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mi 20.12.2006 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Zeige mit Hilfe des Cauchyproduktes, dass für z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|<1 gilt:
[mm] \bruch{1}{(1-z)^2}=\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1}
[/mm]
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also ich kann die linke seite [mm] \bruch{1}{(1-z)^2} [/mm] in [mm] \bruch{1}{(1-z)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1-z)} [/mm] zerlegen, das währen, wenn es reihen währen geometrische Reihen.
aber mehr fällt mir dazu nicht ein.
es währe mir auch lieb wenn mir nochmal jemand, vielleicht an einem Beispiel erklären könnte wie das Cauchyprodukt "funktioniert".
Vielen Dank im Vorraus
MFG
Christoph
Ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 20.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit den geometrischen Reihen ist genau richtig, und das Caucyprodukt hinzuschreiben ist dir doch auch klar, Wenn du einfach den formalismus nicht wiesst dann sieh in Wikipedia oder nem Buch nach. Oder was heisst, du weisst nicht wie, wo genau liegt die Schwierigkeit? die innere Summe ist ja endlich, also kannst du die auch direkt ein Stück weit hinschreiben, wenn du mit Doppelsummen Schwierigkeiten hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 21.12.2006 | | Autor: | CPH |
erst mal Danke,
ich wiß aber noch nicht was die geometrischen Reihen links mit der summe zu tun haben, können sie den Sachverhalt vielleicht an einem Beispiel erläutern?
MFG
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 22.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Christoph
Wir duzen uns hier alle.
links hast du das Produkt von 2 Reihen=Summen stehen, Rechts steht eine Summe.
Wenn du die Summen links multiplizierst, mit Cauchyprodukt, kommt genau die rechte Summe raus.
Schreib einfach mal das Cauchyprodukt der 2 Summen links hin, die innere Summe kannst du dann ausführen und bist fertig.
Wenn das nicht stimmte, wär das = falsch.
Ein anderes Beispiel kenn ich grad nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Fr 22.12.2006 | | Autor: | CPH |
Ich danke erst mal, wenn ich jetz nicht auf die Lösung komme melde ich mich nochmal.
MFG
Christoph
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Fr 22.12.2006 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Aufgabe
Zeige mit Hilfe des Cauchyproduktes, dass für z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|<1 gilt:
[mm] \bruch{1}{(1-z)^2}=\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1} [/mm] |
Hallo:
Ich habe mittlerweile herausgefunden das gilt:
[mm] \bruch{1}{(1-z)^2}=\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{(1-z)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1-z)}=\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (geometrische Reihe)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} z^{n} [/mm] * [mm] \summe_{n=1}^{\infty} z^{n} =\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (cauchyprodukt)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \summe_{i=1}^{n} (z^{n-i}*z^{i} )=\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (offensichtlich)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \summe_{i=1}^{n} (z^{n})=\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1} [/mm]
Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter
gilt dann
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(z^{n}) \summe_{i=1}^{n} 1=\summe_{n=1}^{\infty} nz^{n-1} [/mm] ??????
und wenn ja, wie löse ich die doppelsumme??????
vielen dank für eure Hilfe
MFG Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf andern internetseiten gestellt
PS ich habe auch noch später interesse an der lösung, aber dann für längere zeit kein internet mehr...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Fr 22.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo erstmal!
Also das was du heschrieben hast ist faste richtig.
Du hast beim einsetzen der geometrischen Reihe nicht beachtet, dass die Reihe bei Null starten muss. Dann ergibt sich auch das richtige:
[mm] \bruch{1}{1-z}*\bruch{1}{1-z} = \summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}
\gdw [/mm] geometrische Reihe (hier liegt dein Fehler)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{n}*\summe_{i=0}^{\infty}z^{n} = \summe_{i=1}^{\infty}nz^{n-1}\gdw [/mm] Cauchyprodukt
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{k}*z^{n-k} = \summe_{i=1}^{\infty}nz^{n-1}\gdw [/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n} = \summe_{i=1}^{\infty}nz^{n-1}\gdw [/mm]
Nun kannst du das [mm] z^{n} [/mm] aus der ersten Summe herausziehen, da es nicht mehr von k abhängt (Ausklammern)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{n}\summe_{k=0}^{n}1 = \summe_{i=1}^{\infty}nz^{n-1}\gdw [/mm]
Die innere Summe summiert n+1 mal über 1 auf, also kommt genau n+1 raus
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n} = \summe_{i=1}^{\infty}nz^{n-1}\gdw [/mm]
Jetzt noch eine Indexverschiebung und du bist fertig
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1} = \summe_{i=1}^{\infty}nz^{n-1} [/mm]
Du warst also schon auf dem richtigen Weg!
Grüße Baufux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 So 31.12.2006 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, ich habe es endlich verstanden!
Wenn man weiß wie es funktioniert ist diese Problem ja fast schon trivial!
Vielen Dank und noch nen guten Rutsch!
MFG
Christoph
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