Cauchyprodukt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 16.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
| Aufgabe 1 | Sei x [mm] \in \IR [/mm] < 1.
Bestimmen sie [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n}*\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}*x^{n}) [/mm] mit Hilfe des Cauchyproduktes für Reihen. |
| Aufgabe 2 | Sei x [mm] \in \IR [/mm] < 1.
Zeigen sie: Für alee k [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}*x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}}. [/mm] |
Hi,
Bei Aufgabe 1) habe ich bis jetzt folgendes gemacht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n}*\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}*x^{n}) [/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{i=0}^{n}x^{i}(-1)^{n-i}*x^{n-i}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n} \summe_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*x^{n-i}
[/mm]
jetzt weiss ich nicht weiter. kann mir jemand einen Hinweis geben??
Bei Aufgabe 2 bin ich folgender Maßen vorgegangen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}*x^{n} [/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1-x}*\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}
[/mm]
hier komm ich leider auch nicht weiter, ist der bisherige Ansatz richtig, oder sollte man da anders rangehen?
bin über jede hilfe erfreut.
K
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo kuminitu!
> Sei x [mm]\in \IR[/mm] < 1.
> Bestimmen sie
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}*\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}*x^{n})[/mm]
> mit Hilfe des Cauchyproduktes für Reihen.
> Sei x [mm]\in \IR[/mm] < 1.
> Zeigen sie: Für alee k [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}*x^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}.[/mm]
> Hi,
>
> Bei Aufgabe 1) habe ich bis jetzt folgendes gemacht:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}*\summe_{n=0}^{\infty}((-1)^{n}*x^{n})[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \summe_{i=0}^{n}x^{i}(-1)^{n-i}*x^{n-i}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^{n} \summe_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*x^{n-i}[/mm]
Du meinst hinten sicher [mm] $\sum_{n=0}^\infty x^n \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}$, [/mm] oder? Schau dir doch mal [mm] $\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}$ [/mm] an. Diese Summe nimmt, abhaengig von $n$, nur zwei verschiedene Werte an. Beschreibe mal, wie das aussieht. Und dann spalte die urspruengliche Reihe [mm] ($\sum_{n=0}^\infty x^n \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}$) [/mm] demnach auf in zwei Reihen, so dass in jeder `Teilreihe' jeweils das gleiche fuer [mm] $\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}$ [/mm] rauskommt. Dann ersetze $y := [mm] x^2$ [/mm] und benutze die geometrische Reihe... (Wenn das zu viel auf einmal war, dann fang erstmal an und frag wenn du nicht weiter kommst, und gib an was du bis dahin hast :) )
> jetzt weiss ich nicht weiter. kann mir jemand einen Hinweis
> geben??
>
> Bei Aufgabe 2 bin ich folgender Maßen vorgegangen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}*x^{n}[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}[/mm]
Was hast du hier gemacht?! Das stimmt so nicht!
Versuch es doch mal mit einem anderen Ansatz, naemlich Induktion! Fuer $k = 0$ sollte dir das bekannt vorkommen: Es ist die ganz normale geometrische Reihe! Um den Induktionsschritt hinzubekommen, schreib die Gleichung fuer ein $n$ hin und leite auf beiden Seiten ab. Rechts hast du dann sofort das was du brauchst, und auf der linken Seite musst du etwas umformen und eine Indexverschiebung machen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 16.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hi,
Die Summe $ [mm] \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} [/mm] $ = $ [mm] \sum_{i=0}^n \bruch{(-1)^{n}}{(-1)^{i}} [/mm] $ nimmt in abhängigkeit von n folgende Werte an:für n gerade folgt das die Summe [mm] \bruch{1}{(-1)^{i}} [/mm] wird,
und für n ungerade wird die summe immer gleich 0.
Aber irgendwie ist mir leider nicht ganz klar, was du danach machen willst, oder bzw wie du es machen willst.
Zu 2: induktion hatte ich auch schon mal probiert. Der iA ist klar.
aber ich verstehe leider deinen IS nicht. So wie ich es verstanden habe soll ich das $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $ ableiten? kannst du mir erklären warum man das machen sollte??
vielen dank schon mal für deine Bemühung.
K
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo K!
> Die Summe [mm]\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}[/mm] = [mm]\sum_{i=0}^n \bruch{(-1)^{n}}{(-1)^{i}} [/mm]
> nimmt in abhängigkeit von n folgende Werte an:für n gerade
> folgt das die Summe [mm]\bruch{1}{(-1)^{i}}[/mm] wird,
Das sicher nicht. Da kommt kein $i$ mehr drinnen vor.
$n = 0$: Summe ist [mm] $(-1)^{0-0} [/mm] = 1$
$n = 1$: Summe ist [mm] $(-1)^{1-0} [/mm] + [mm] (-1)^{1-1} [/mm] = 1 - 1 = 0$
$n = 2$: Summe ist [mm] $(-1)^{2-0} [/mm] + [mm] (-1)^{2-1} [/mm] + [mm] (-1)^{2-2} [/mm] = 1 - 1 + 1 = 1$
$n = 3$: Summe ist [mm] $(-1)^{3-0} [/mm] + [mm] (-1)^{3-1} [/mm] + [mm] (-1)^{3-2} [/mm] + [mm] (-1)^{3-3} [/mm] = -1 + 1 - 1 + 1 = 0$
$n = 4$: Summe ist [mm] $(-1)^{4-0} [/mm] + [mm] (-1)^{4-1} [/mm] + [mm] (-1)^{4-2} [/mm] + [mm] (-1)^{4-3} [/mm] + [mm] (-1)^{4-4} [/mm] = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$
Daraus (und mit etwas ueberlegen) folgt: [mm] $\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0 & n \text{ ungerade,} \\ 1 & n \text{gerade.} \end{cases}$
[/mm]
Also ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty x^n \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} [/mm] = [mm] \sum_{n=0 \atop n \text{ ungerade}}^\infty x^n \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} [/mm] + [mm] \sum_{n=0 \atop n \text{ gerade}}^\infty x^n \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} [/mm] = [mm] \sum_{n=0 \atop n \text{ ungerade}}^\infty x^n \cdot [/mm] 0 + [mm] \sum_{n=0 \atop n \text{ gerade}}^\infty x^n \cdot [/mm] 1 = [mm] \sum_{n=0 \atop n \text{ gerade}}^\infty x^n$.
[/mm]
So. Damit musst du jetzt weiter machen.
> Zu 2: induktion hatte ich auch schon mal probiert. Der iA
> ist klar.
> aber ich verstehe leider deinen IS nicht.
Was verstehst du nicht? Wie man das ableitet, oder wie man darauf kommt?
> So wie ich es
> verstanden habe soll ich das [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm] ableiten? kannst du mir erklären
> warum man das machen sollte??
Weil das rauskommt, was du brauchst. Wenn man ein paar Aufgaben von diesem Typus gesehen hat, dann ist dies eine der ersten Ideen auf die man kommt: Das links ist die $k$-fache Ableitung der Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty x^n$, [/mm] und das rechts ist die $k$-fache Ableitung von [mm] $\frac{1}{1 - x}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 16.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hi,
also Aufgabe 1) ist mir jetzt klar.
zu 2)
Ich hab zuerst die Ableitung von $ [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $ berechnet,
dass ist also ($ [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $)' = $ [mm] \bruch{-ln(1-x)}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $.
Also muss ja für $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n} [/mm] $ folgendes gelten:
($ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n} [/mm] $)' =
($ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)!}{n!*k!}x^{n} [/mm] $ )' = $ [mm] \bruch{-ln(1-x)}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $ ???????????????????????????????
Ich wäre dir sehr dankbar wenn du mir erklären könntest, wie man darauf kommt(bzw kommen kann, es ist mir ein großen Rätsel).
aber nochmal danke für deine sehr schnellen und guten Antworten.
K
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo K!
> also Aufgabe 1) ist mir jetzt klar.
Schoen :)
> zu 2)
> Ich hab zuerst die Ableitung von [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm]
> berechnet,
> dass ist also ([mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm])' =
> [mm]\bruch{-ln(1-x)}{(1-x)^{k+1}} [/mm].
Oehm, darf ich dich mal fragen was du da gemacht hast? Das was du da ausgerechnet hast ist weder die Ableitung noch eine Stammfunktion... Rechne das doch ganz einfach mit der Kettenregel aus: innere Funktion ist $g(x) = 1 - x$, aeussere ist $h(x) = [mm] \frac{1}{x^{k+1}} [/mm] = [mm] x^{-(k+1)}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 16.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hi,
ok, hab leider nach k abgeleitet,warum auch immer..., habe jetzt also zu erst
($ [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $)' = $ [mm] \bruch{k+1}{(1-x)^{k+2}} [/mm] $ diese ableitung bestimmt(und denke auch das sie jetzt richtig ist).
aber mein Problem ist wieder das gleiche, wie bestimme ich die Ableitung von
($ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n} [/mm] $)' =
($ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)!}{n!\cdot{}k!}x^{n} [/mm] $ )' ???
da sollte ja dann schließlich auch $ [mm] \bruch{k+1}{(1-x)^{k+2}} [/mm] $ rauskommen, aber ich habe keine Ahnung wie ich das bestimmen kann.
würde mich freuen wenn du mir bei diesem hoffentlich letzten schritt noch mal helfen könntest.
MFG
K
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Mo 17.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo K!
> ok, hab leider nach k abgeleitet,warum auch immer..., habe
> jetzt also zu erst
> ([mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm])' = [mm]\bruch{k+1}{(1-x)^{k+2}}[/mm]
> diese ableitung bestimmt(und denke auch das sie jetzt
> richtig ist).
> aber mein Problem ist wieder das gleiche, wie bestimme ich
> die Ableitung von
> ([mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n} [/mm])'
> =
> ([mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)!}{n!\cdot{}k!}x^{n}[/mm]
> )' ???
Einfach gliedweise (=summandenweise) ableiten! Fuer $|x| < 1$ konvergiert das lokal kompakt und deswegen darfst du gliedweise ableiten.
> da sollte ja dann schließlich auch
> [mm]\bruch{k+1}{(1-x)^{k+2}}[/mm] rauskommen, aber ich habe keine
> Ahnung wie ich das bestimmen kann.
Also das dies gleich [mm] $\frac{k+1}{(1-x)^{k+2}}$ [/mm] ist weisst du doch schon, wegen dem Ableiten! Du musst zeigen, dass die Ableitung gleich [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k + 1 \\ n}\cdot{}x^{n}$ [/mm] ist!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mo 17.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
> Also das dies gleich [mm]\frac{k+1}{(1-x)^{k+2}}[/mm] ist weisst du
> doch schon, wegen dem Ableiten! Du musst zeigen, dass die
> Ableitung gleich [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k + 1 \\ n}\cdot{}x^{n}[/mm]
> ist!
>
> LG Felix
ok, zuerst leite ich das mal ab:
([mm]\summe_{n=0}^{n} \vektor{n + k + 1 \\ n}\cdot{}x^{n}[/mm])'
=$ [mm] \summe_{n=0}^{n} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}n*x^{n-1} [/mm] $
=$ [mm] \summe_{n=0}^{n-1} \vektor{n+1 + k \\ n+1}\cdot{}(n+1)*x^{n} [/mm] $
=$ [mm] \summe_{n=0}^{n-1} \vektor{n+1 + k \\ n}\cdot{}x^{n} [/mm] $.
kann man das so machen?bin mir bei Indexverschiebungen immer nicht so sicher.
MFG
K
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 17.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo K!
> > Also das dies gleich [mm]\frac{k+1}{(1-x)^{k+2}}[/mm] ist weisst du
> > doch schon, wegen dem Ableiten! Du musst zeigen, dass die
> > Ableitung gleich [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n + k + 1 \\ n}\cdot{}x^{n}[/mm]
> > ist!
>
> ok, zuerst leite ich das mal ab:
> ([mm]\summe_{n=0}^{n} \vektor{n + k + 1 \\ n}\cdot{}x^{n}[/mm])'
Du meinst wohl [mm] $(\summe_{n=0}^\infty \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n})'$?
[/mm]
> =[mm] \summe_{n=0}^{n} \vektor{n + k \\ n}\cdot{}n*x^{n-1}[/mm]
Den Nullten Summanden kannst du weglassen, der ist eh gleich 0. Momentan machst du das zusammen mit der Indexverschiebung:
> =[mm] \summe_{n=0}^{n-1} \vektor{n+1 + k \\ n+1}\cdot{}(n+1)*x^{n}[/mm]
>
> =[mm] \summe_{n=0}^{n-1} \vektor{n+1 + k \\ n}\cdot{}x^{n} [/mm].
Den letzten Schritt musst du noch begruenden. Ich denke er stimmt nicht; da muss auf jeden Fall noch ein Faktor $(k + 1)$ auftauchen (die Reihe muss ja gleich [mm] $\frac{k+1}{(1-x)^{k+2}}$ [/mm] sein)!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 17.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
ich hab es jetzt die ganze zeit probiert, aber ich weiss einfach nicht, wie ich von da $ [mm] (\summe_{n=0}^\infty \vektor{n + k \\ n}\cdot{}x^{n})' [/mm] $ nach da $ [mm] \frac{k+1}{(1-x)^{k+2}} [/mm] $ komme. könntest du mir noch einen Hinweis geben? Ein anderes Problem ist noch, wie ich den Induktionsschritt Formal aufschreibe. "Normalerweise" schreibt man ja sowas wie IS. k->k+1.
aber wie genau begründe ich den Schritt mit der Ableitung. ich kann ja nicht einfach schreiben, daraus folgt das gewünschte Ergebnis!!???
MFG
K
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Mo 17.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
ok, danke für die vilen hilfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo, ...
schau hier einmal nach.
https://matheraum.de/read?t=158655
Dies ist der induktive Beweis für deine 2. Aufgabe (steht ganz unten)
mfG Zaed
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