Cauchykrit., Uneigtl. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:54 Mo 26.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgendem:
Es sei $\ [mm] \int_a^{\infty}f(x)dx [/mm] $ konvergent.
Dann gilt ja $ [mm] \int_a^{\infty}f(x)dx [/mm] = [mm] \lim_{t \to \infty} \int_a^{t}f(x)dx [/mm] $
Ist folgende Behauptung dann zulässig?
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 \ \ [mm] \exists z_0 [/mm] > a : \ [mm] \left| \int_a^{t}f(x)dx - \int_a^{\infty}f(x)dx \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich den Grenzwertbegriff von Folgen in dieser Form auf Integrale übertragen kann/darf.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu folgendem:
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> Es sei [mm]\ \int_a^{\infty}f(x)dx[/mm] konvergent.
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> Dann gilt ja [mm]\int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^{t}f(x)dx[/mm]
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> Ist folgende Behauptung dann zulässig?
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> [mm]\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists z_0 > a : \ \left| \int_a^{t}f(x)dx - \int_a^{\infty}f(x)dx \right| < \varepsilon[/mm]
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> Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich den Grenzwertbegriff
> von Folgen in dieser Form auf Integrale übertragen
> kann/darf.
Ja, es läuft auf das Cauchykriterium für Grenzwerte bei Funtionen hinaus:
Setze $F(t): = [mm] \int_a^{t}f(x)dx$ [/mm] und $g:= [mm] \int_a^{\infty}f(x)dx$
[/mm]
Dann ist $g= [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}F(t)$
[/mm]
Das Cauchykriterium besagt nun:
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 \ \ [mm] \exists z_0 [/mm] > a : |F(t)-g| < [mm] \varepsilon [/mm] $ für jedes t [mm] \ge z_0.
[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:06 Mo 26.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Morgen Fred,
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> Ja, es läuft auf das Cauchykriterium für Grenzwerte bei
> Funtionen hinaus:
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> Setze [mm]F(t): = \int_a^{t}f(x)dx[/mm] und [mm]g:= \int_a^{\infty}f(x)dx[/mm]
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> Dann ist [mm]g= \limes_{t\rightarrow\infty}F(t)[/mm]
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> Das Cauchykriterium besagt nun:
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> [mm]\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists z_0 > a : |F(t)-g| < \varepsilon[/mm]
> für jedes t [mm]\ge z_0.[/mm]
Hey, vielen Dank! Ich konnte keine günstige Substitution finden, um das Cauchykriterium erfolgreich für eine Aufgabe anwenden zu können. Jetzt klappt's  !
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> FRED
> >
> > Viele Grüße
> > ChopSuey
Viele Grüße
ChopSuey
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