Cauchy Integralformel?!? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Liliaaa |
Hallo an Alle,
ich muss Integrale mit Hilfe der Cauchy-Integralformel ausrechnen.
Ich hab die Formel ich hab mein Integral, aber ich weiß nicht was ich für f(z) usw. einsetzen muss. Wäre echt nett, wenn mir das jemand erklären könnte. Am besten an Hand von einem Beispiel...
Berechne mit Hilfe der Cauchy Integralformel den Wert des Integrals:
[mm] \integral_{\partial[3i,1]}^ [/mm] { [mm] \bruch{1}{z^2+9}dz}
[/mm]
Formel:
f(z) = [mm] \bruch{1}{2\pi*i} \integral_{C}{ \bruch{f(w)}{w-z} dw}
[/mm]
so weit so gut....aber woher weiß ich jetzt was f(w), w, z, f(z) ist?!?
und wie kriege ich die grenzen für mein Integral? Die sind nicht von 3i bis 1, oder?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe
Liliaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mo 30.01.2006 | | Autor: | t.sbial |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich gehe mal davon aus, dass \partial[3i,1] bedeutet kreis vom radius 1 um 3i. Dann geht das so:
z²+9=(z-3i)(z+3i).
Dann gilt:
\integral_{\partial[3i,1]}^{} { \bruch{1}{z²+9} dz}=$ \integral_{\partial[3i,1]}^{} $$ {\bruch{1}{(z-3i)(z+3i)}dz} $
=$ \integral_{\partial[3i,1]}^ $$ \bruch{ \bruch{1}{z+3i}}{(z-3i)}dz} $
Also dann ist f(z)= \bruch{1}{z+3i} und es gilt
$ \integral_{\partial[3i,1]}^ $$ \bruch{ f(z)}{(z-3i)}dz} $=f(3i)*2 \pi*i
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Di 31.01.2006 | | Autor: | Liliaaa |
Danke schon mal für die Hilfestellung! Jetzt probier ich meine Aufgaben mal aus. Vielleicht kommen dann ja noch fragen?!? 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 31.01.2006 | | Autor: | Liliaaa |
Hallo....
Ich habe jetzt die Aufgaben bearbeitet, und wollte nun schauen ob sie richtig sind.
Also hier die Aufgaben:
Berechne mit Hilfe der Cauchy Integralformel die Werte der folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{\partial K[3i,1]}^ [/mm] { [mm] \bruch{1}{z^2+9} [/mm] dz}
meine Lösung:
= [mm] \integral_{\partial K[3i,1]}^ [/mm] { [mm] \bruch{1}{(z-3i)(z+3i)} [/mm] dz}
= [mm] \integral_{\partial K[3i,1]}^ [/mm] { [mm] \bruch{1/(z+3i)}{z-3i} [/mm] dz}
=> f(z) = [mm] \bruch{1}{z+3i}
[/mm]
= [mm] \integral_{\partialK [3i,1]}^ [/mm] { [mm] \bruch{f(z)}{z-3i} [/mm] dz} = f(3i) * 2 [mm] \pi [/mm] i
f(3i) = [mm] \bruch{1}{6i}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6i} [/mm] * 2 [mm] \pi [/mm] i = [mm] \bruch{1}{3} *\pi
[/mm]
b) [mm] \integral_{\partial K[1-i,e]}^ [/mm] { [mm] \bruch{z^2+3z}{z^2+5z+4} [/mm] dz}
= [mm] \integral_{\partial K[1-i,e]}^ [/mm] { [mm] \bruch{z^2+3z}{(z+1)(z+4)} [/mm] dz}
= [mm] \integral_{\partial K[1-i,e]}^ [/mm] { [mm] \bruch{(z^2+3z)/(z+4)}{(z+1)} [/mm] dz}
=> f(z) = [mm] \bruch{(z^2+3z)}{(z+1)}
[/mm]
= [mm] \integral_{\partial K[1-i,e]}^ [/mm] { [mm] \bruch{f(z)}{(z+1)} [/mm] dz} = [mm] f(1-i)*2\pi*i
[/mm]
f(1-i)= [mm] \bruch{2i+3}{-i+5}
[/mm]
= [mm] 2\pi*i*f(1-i) [/mm] = [mm] 2\pi*i* \bruch{2i+3}{-i+5} [/mm] = [mm] \bruch{-4\pi+6\pi*i}{-i+5}
[/mm]
c) [mm] \integral_{\partial K[1,2]}^ [/mm] { [mm] \bruch{z^3+2z}{(z-1)^3} [/mm] dz}
= [mm] \integral_{\partial K[1,2]}^ [/mm] { [mm] \bruch{z^3+2z}{(z-1)(z^2-2z+1)} [/mm] dz}
= [mm] \integral_{\partial K[1,2]}^ [/mm] { [mm] \bruch{(z^3+2z)/(z^2-2z+1)}{(z-1)} [/mm] dz}
=> f(z) = [mm] \bruch{(z^3+2z)}{(z^2-2z+1)}
[/mm]
= [mm] \integral_{\partialK [1,2]}^ [/mm] { [mm] \bruch{f(z)}{z-1} [/mm] dz} = f(-1) * 2 [mm] \pi [/mm] i
f(-1) = - [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] 2\pi*i*f(-1) [/mm] = [mm] 2\pi*i*(- \bruch{3}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{3*i\pi}{2}
[/mm]
Über Korrekturen wäre ich echt dankbar.
Grüße Liliaaa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Mi 01.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Lilia
> Also hier die Aufgaben:
>
> Berechne mit Hilfe der Cauchy Integralformel die Werte der
> folgenden Integrale:
>
> a) [mm]\integral_{\partial K[3i,1]}{ \bruch{1}{z^2+9} dz}[/mm]
>
> meine Lösung:
> = [mm]\integral_{\partial K[3i,1]} {\bruch{1}{(z-3i)(z+3i)} dz}[/mm]
> = [mm]\integral_{\partial K[3i,1]}{ \bruch{1/(z+3i)}{z-3i} dz}[/mm]
>
> => f(z) = [mm]\bruch{1}{z+3i}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{\partialK [3i,1]}{\bruch{f(z)}{z-3i}dz} =
> f(3i) * 2 \pi* i[/mm]
>
> f(3i) = [mm]\bruch{1}{6i}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{6i}[/mm] * 2 [mm]\pi[/mm] i = [mm]\bruch{1}{3} *\pi[/mm]
Richtig
> b) [mm]\integral_{\partial K[1-i,e]} {\bruch{z^2+3z}{z^2+5z+4} dz}[/mm]
> = [mm]\integral_{\partial K[1-i,e]}{\bruch{z^2+3z}{(z+1)(z+4)} dz}[/mm]
> = [mm]\integral_{\partial K[1-i,e]}^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]\bruch{(z^2+3z)/(z+4)}{(z+1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dz}
>
> => f(z) = [mm]\bruch{(z^2+3z)}{(z+1)}[/mm]
Falsch f(z)= [mm]\bruch{(z^2+3z)}{(z+4)}[/mm]
> = [mm]\integral_{\partial K[1-i,e]}^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{f(z)}{(z+1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dz}
> = [mm]f(1-i)*2\pi*i[/mm]
FALSCH f(-1)
> f(1-i)= [mm]\bruch{2i+3}{-i+5}[/mm]
>
> = [mm]2\pi*i*f(1-i)[/mm] = [mm]2\pi*i* \bruch{2i+3}{-i+5}[/mm] =
> [mm]\bruch{-4\pi+6\pi*i}{-i+5}[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{\partial K[1,2]}^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{z^3+2z}{(z-1)^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> dz}
> = [mm]\integral_{\partial K[1,2]}^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]\bruch{z^3+2z}{(z-1)(z^2-2z+1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dz}
> = [mm]\integral_{\partial K[1,2]}^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]\bruch{(z^3+2z)/(z^2-2z+1)}{(z-1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dz}
>
> => f(z) = [mm]\bruch{(z^3+2z)}{(z^2-2z+1)}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{\partialK [1,2]}^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{f(z)}{z-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dz} =
> f(-1) * 2 [mm]\pi[/mm] i
falsch f(1) nicht f(-1)
> f(-1) = - [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> [mm]2\pi*i*f(-1)[/mm] = [mm]2\pi*i*(- \bruch{3}{4})[/mm] =
> [mm]\bruch{3*i\pi}{2}[/mm]
Gruss leduart
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