Cauchy Folge? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe?
[mm] \bruch{n^{2}+2}{n^{2}+1}
[/mm]
Ist die Folge beschränkt und/oder monoton ? Cauchy-Folge? |
Hallo,
mein Problem ist,
dass die Folge doch gegen 1 konvergiert...
- Die Folge ist monoton fallend...
- und beschränkt ... nämlich 1<= a(n) <= 1,5
Und eine konvergente Folge ist auch eine Cauchy-Folge? Diese Schlussfolgerung ist doch richtig?
Also beschränkt, monoton ==>konvergent ==> Cauchy-Folge
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Do 18.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe?
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> [mm]\bruch{n^{2}+2}{n^{2}+1}[/mm]
>
> Ist die Folge beschränkt und/oder monoton ? Cauchy-Folge?
> Hallo,
>
> mein Problem ist,
>
> dass die Folge doch gegen 1 konvergiert...
Ja
> - Die Folge ist monoton fallend...
Beweis ?
> - und beschränkt ... nämlich 1<= a(n) <= 1,5
Beweis ?
>
>
>
> Und eine konvergente Folge ist auch eine Cauchy-Folge?
> Diese Schlussfolgerung ist doch richtig?
Ja
>
> Also beschränkt, monoton ==>konvergent ==> Cauchy-Folge
Beweise fehlen
FRED
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Also...
der Beweis zur Beschränktheit mache ich per Induktion:
zu zeigen: 1 <= a(n) <= 1,5
IA) n=1 .. (1²+2)/(1²+1) = 3/2 = 1,5 <= 1,5
IV) Es gebe ein n [mm] \in [/mm] N , s.d. 1 <= a(n) <= 1,5
IS)
n => n+1
a(n+1) <= 1,5
===>
[mm] \bruch{(n+1)²+2}{(n+1)²+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{n²+2n+3}{n²+2n+2} [/mm] <= 1,5
<=> n²+2n+3 <= 1,5*(n²+2n+2) / -3
<=> n²+2n <= 1,5n² + 3n / -n²
<=> 2n <= 0,5n² + 3n /-3n
<=> -n <= 0,5n²
<=> -1 <= 0,5n
wahr ... für alle n >=1
dann 2.
[mm] \bruch{n²+2n+3}{n²+2n+2} [/mm] >= 1
<=> n²+2n+3 >= 1*(n²+2n+2)
<=> n²+3 >= n² + 2
3 >= 2
wahr
damit müsste die beschränktheit bewiesen sein,
Oder???????????
zur Monotomie:
[mm] \bruch{n^{2}+2n+3}{n^{2}+2n+2} [/mm] - [mm] \bruch{n^{2}+2}{n^{2}+1} [/mm] <0
= [mm] \bruch{(n^{2}+2n+3)(n^{2}+1) - [(n^{2}+2)(n^{2}+2n+2)]}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)} [/mm] <0
= [mm] \bruch{n^{4}+n^{2}+2n^{3}+2n+3n^{2}+3-n^{4}-2n^{3}-2n^{2}-2n^{2}-4n-4}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)} [/mm] <0
= [mm] \bruch{-2n-1}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}
[/mm]
= - [mm] \bruch{2n+1}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}
[/mm]
Ist kleiner Null, weil alles positiv mal negativ !
reicht das... ist das alles ok... ist also demnach die Folge eine Cauchy-Folge???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 18.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Also...
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> der Beweis zur Beschränktheit mache ich per Induktion:
>
> zu zeigen: 1 <= a(n) <= 1,5
>
> IA) n=1 .. (1²+2)/(1²+1) = 3/2 = 1,5 <= 1,5
>
> IV) Es gebe ein n [mm]\in[/mm] N , s.d. 1 <= a(n) <= 1,5
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> IS)
>
>
> n => n+1
>
> a(n+1) <= 1,5
> ===>
> [mm]\bruch{(n+1)²+2}{(n+1)²+1}[/mm]
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> = [mm]\bruch{n²+2n+3}{n²+2n+2}[/mm] <= 1,5
>
> <=> n²+2n+3 <= 1,5*(n²+2n+2) / -3
> <=> n²+2n <= 1,5n² + 3n / -n²
> <=> 2n <= 0,5n² + 3n /-3n
> <=> -n <= 0,5n²
> <=> -1 <= 0,5n
>
> wahr ... für alle n >=1
>
>
> dann 2.
>
> [mm]\bruch{n²+2n+3}{n²+2n+2}[/mm] >= 1
>
> <=> n²+2n+3 >= 1*(n²+2n+2)
> <=> n²+3 >= n² + 2
> 3 >= 2
>
> wahr
>
>
> damit müsste die beschränktheit bewiesen sein,
> Oder???????????
>
>
> zur Monotomie:
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+3}{n^{2}+2n+2}[/mm] - [mm]\bruch{n^{2}+2}{n^{2}+1}[/mm]
> <0
>
> = [mm]\bruch{(n^{2}+2n+3)(n^{2}+1) - [(n^{2}+2)(n^{2}+2n+2)]}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}[/mm]
> <0
>
> =
> [mm]\bruch{n^{4}+n^{2}+2n^{3}+2n+3n^{2}+3-n^{4}-2n^{3}-2n^{2}-2n^{2}-4n-4}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}[/mm]
> <0
>
> = [mm]\bruch{-2n-1}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}[/mm]
> = - [mm]\bruch{2n+1}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}[/mm]
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> Ist kleiner Null, weil alles positiv mal negativ !
>
>
>
> reicht das... ist das alles ok... ist also demnach die
> Folge eine Cauchy-Folge???
>
>
Hallo,
du betreibst hier etwas viel Aufwand, das kann man etwas geschickter anstellen.
Fang mit der Monotonie an!
[mm] \bruch{n^2+2n+3}{n^2+2n+2}=1+\bruch{1}{n^2+2n+2}
[/mm]
Das ist selbstverstndlich monoton fallend (konstanter Zähler, wachsender Nenner).
Da alle [mm] \bruch{1}{n^2+2n+2} [/mm] positiv ist, hat die Folge [mm] 1+\bruch{1}{n^2+2n+2} [/mm] die untere Schranke 1.
Da die Folge fallend ist, ist das erste Folgenglied kleinste obere Schranke.
Schon hast du auch die Beschränktheit gezeigt.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Do 18.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beschränktheitsbeweis ist kein Induktionsbeweis
also besser gleich [mm] n^2+2/(n^2+1)=1+1/(n^2+1)<1,5 [/mm] für n>1
Wenn man die Ind. vors nicht benutzt, hat man nie nen Induktionsbeweis gemacht.
ausserdem, wenn die Folge monoton fallend ist braucht man nur eine untere Schranke.
für [mm] \ge [/mm] 1 musst du auch nur direkt den Bruch verkleinern, indem du den Zähler um 1 verkleinerst.
Aber was du gemacht hast ist nicht falsch.
Gruss leduart
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