Cauchy-Folge mit Norm < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
wir haben heute folgende Aufgabe gestellt bekommen, nur weiß ich nicht wie ich da drangehen soll:
Es Sei V = [mm] C^{1}([a,b]) [/mm] (also Menge der Fkt. die über dem Intervall [a,b] mind. 1 mal stetig differenzierbar sind) mit [mm] ||f||_{C^{1}} [/mm] := sup{|f(x)| + |f'(x)| : x [mm] \in [/mm] [a,b]}. Zeigen Sie, dass V mit dieser Norm vollständig ist.
So vollständig heißt ja, dass jede Cauchy-Folge in V konvergiert...
Die Cauchy-Folge ist ja nun über die Metrik definiert:
[mm] (x_{k})_{k \in \IN} [/mm] Cauchy-Folge <=>
für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 ex. N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] d(x_{n},x_{m }) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n,m [mm] \geq [/mm] N
So nun hab ich mir gedacht, wird durch d(x,y) = ||x-y|| die Metrik induziert.
Also muss ich nun übrprüfen, dass ein a [mm] \in [/mm] V ex. wogegen das ganze konvergiert, wenn Cauchy-Folge:
für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 ex. N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] ||x_{k} [/mm] - a|| < [mm] \epsilon [/mm] für alle k [mm] \geq [/mm] N
So weit so gut, ich weiß nun was ich zeigen muss, nur WIE, weiß ich überhaupt nicht! Ich muss ja Irgendwie herausbekommen, dass [mm] ||x_{k} [/mm] - a|| < ||irgendwas mit [mm] x_{k} x_{m}|| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, da ich nicht weiß wie ich dies zeigen soll.
Grüße
Caro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
Die Aussage [mm]a\in V[/mm] bedeutet doch, dass a stetig differenzierbar ist.
Tipp: was bedeutet denn Konvergenz bezüglich einer Supremumsnorm? Das ist doch etwas Anderes als punktweise Konvergenz.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Das heißt, dass dies die Definition von gleichmäßiger Konvergenz ist? Wie hilft mir das nun weiter? Die Existenz eines a [mm] \in [/mm] V ist ja nun nicht bewiesen, ich weiß nicht worauf du hinaus willst...
Kannst du mir erklären, was mir diese Erkenntnis nun bringt?
LG
Caro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Das heißt, dass dies die Definition von gleichmäßiger
> Konvergenz ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie hilft mir das nun weiter? Die Existenz
> eines a [mm]\in[/mm] V ist ja nun nicht bewiesen, ich weiß nicht
> worauf du hinaus willst...
>
> Kannst du mir erklären, was mir diese Erkenntnis nun
> bringt?
Du weisst, dass alle Elemente einer Funktionenfolge stetig und stetig differenzierbar sind. Was folgt dann aus der gleichmäßigen Konvergenz für den Grenzwert?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Also irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch...
Die gleichmäßige Konvergenz nützt mir doch gar nichts. Ich muss doch zeigen, dass V vollständig ist, also dass eine Cauchy-folge konvergiert!
So. Ich habe nun eine Cauchy-Folge als Vorgabe mit eben den üblichen Cauchy-Bedingungen... Aber es ist NICHT sicher, ob Cauchy-folge überhaupt konvergiert, sie kann auch divergieren (theoretisch...) Dies soll ich ja beweisen, dann nützt mir die gleichmäßige Konvergenz auf die Cauchy-Folge überhaupt nichts, da ich nicht weiß, dass sie konvergiert... Ich soll ja zeigen, dass Cauchy-Folge konvergiert...
Ich muss dies ja zeigen: für alle $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 ex. N $ [mm] \in \IN [/mm] $ : $ [mm] ||x_{k} [/mm] $ - a|| < $ [mm] \epsilon [/mm] $ für alle k $ [mm] \geq [/mm] $ N
Ich weiß NICHt, dass dies gilt, sondern muss zeigen, dass es gilt, also kann ich ja die gleichmäßige Konvergenz bei einer Cauchy-Folge nicht annehmen, da ich ja dann das zu Beweisende für wahr erachten würde...
Also bin ich der Meinung, dass mir die gleichmäßige Konvergenz nichts bringt, da ich nicht weiß ob Cauchy-Folge überhaupt konvergiert und genau dies muss ich ja (nach meinem Verständnis der Aufgabe) beweisen, dass sie konvergiert...
Oder sehe ich da irgendwas falsch? Wo mache ich einen Denkfehler, falls ich einen mache?
LG
Caro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Also irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch...
>
> Die gleichmäßige Konvergenz nützt mir doch gar nichts. Ich
> muss doch zeigen, dass V vollständig ist, also dass eine
> Cauchy-folge konvergiert!
>
> So. Ich habe nun eine Cauchy-Folge als Vorgabe mit eben den
> üblichen Cauchy-Bedingungen... Aber es ist NICHT sicher, ob
> Cauchy-folge überhaupt konvergiert, sie kann auch
> divergieren (theoretisch...) Dies soll ich ja beweisen,
> dann nützt mir die gleichmäßige Konvergenz auf die
> Cauchy-Folge überhaupt nichts, da ich nicht weiß, dass sie
> konvergiert... Ich soll ja zeigen, dass Cauchy-Folge
> konvergiert...
>
> Ich muss dies ja zeigen: für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0 ex. N [mm]\in \IN[/mm]
> : [mm]||x_{k}[/mm] - a|| < [mm]\epsilon[/mm] für alle k [mm]\geq[/mm] N
>
> Ich weiß NICHt, dass dies gilt, sondern muss zeigen, dass
> es gilt, also kann ich ja die gleichmäßige Konvergenz bei
> einer Cauchy-Folge nicht annehmen, da ich ja dann das zu
> Beweisende für wahr erachten würde...
>
> Also bin ich der Meinung, dass mir die gleichmäßige
> Konvergenz nichts bringt, da ich nicht weiß ob Cauchy-Folge
> überhaupt konvergiert und genau dies muss ich ja (nach
> meinem Verständnis der Aufgabe) beweisen, dass sie
> konvergiert...
>
> Oder sehe ich da irgendwas falsch? Wo mache ich einen
> Denkfehler, falls ich einen mache?
Ja, ich denke es geht um die Beziehung zwischen konvergenten Folgen und Vollständigkeit, und deine Vorstellung davon.
Eine Cauchyfolge ist doch eine Folge, bei der die Folgenglieder für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] immer näher aneinander rücken. Eine konvergente Folge ist eine Folge, bei der die Folgenglieder für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] immer näher gegen den Grenzwert a rücken. Bei der Frage nach der Vollständigkeit geht es um den Unterschied: wann ist eine Cauchyfolge nicht mehr konvergent.
Es ist ganz einfach, aus einer konvergenten Folge (die ja automatisch eine Cauchyfolge ist) eine nicht konvergente Cauchyfolge zu machen: du entfernst den Grenzwert a aus dem Raum, in dem die Folgenglieder liegen. Dann gibt's den Grenzwert nicht mehr, und die Folge konvergiert nicht. Der Raum ist nach Herausnehmen von a nicht vollständig.
Umgekehrt kann man jeden nicht vollständigen metrischen Raum zu einem vollständigen machen, indem man alle Punkte hinzunimmt, die man braucht, damit alle Cauchyfolgen konvergieren, das heisst alle Grenzwerte dieser Cauchyfolgen. (Das ist natürlich keine mathematisch saubere Formulierung, gibt aber das Wesen der Vervollständigung wider.)
Zurück zum Beispiel. Wenn du irgendeine Cauchyfolge stetig differenzierbarer Funktionen betrachtest, so konvergiert diese punktweise in [mm]\IR[/mm] gegen eine Funktion [mm]f:[a,b]\rightarrow\IR[/mm]. Das folgt sofort aus der Definition der Norm [mm]\|\cdot\|_{{\cal C}^{1}}[/mm] und der Vollständigkeit von [mm]\IR[/mm].
Wenn du jetzt zeigen kannst, dass jede solche Funktion, die sich als punktweiser Grenzwert ergibt, stetig differenzierbar ist, so hast du gezeigt, dass jede Cauchyfolge einen Grenzwert in [mm]{\cal C}^{1}([a,b])[/mm] hat, und damit, dass [mm]{\cal C}^{1}([a,b])[/mm] vollständig ist.
Du weisst ferner, dass die Folge in [mm]\IR[/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert. Du weisst außerdem, dass alle Folgenglieder stetig differenzierbar sind.
Was kannst du jetzt weiter aussagen?
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Fr 23.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Schreib dir das ganze mal auf und setz das ein, also die Cauchy-bedingung lautet:
[mm] ||f_n-f_m||\le\epsilon
[/mm]
Das bedeutet
[mm] sup\{|f_n(x)-f_m(x)|+|f'_n(x)-f'_m(x)|\}
[/mm]
[mm] \le sup\{|f_n(x)-f|+|f-f_m(x)|+|f'_n(x)-f|+|f-f'_m(x)|\}
[/mm]
Jetzt kannst du schonmal [mm] |f_n(x)-f| [/mm] und [mm] |f-f_m(x)| [/mm] mit [mm] \epsilon/2 [/mm] abschätzen. Für den Rest musst du ausnutzen, dass die Funktion stetig differenzierbar ist. Dazu verwendest du Hilfsmittel aus der Differentialrechnung.
Reicht das erstmal aus als Hilfe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Vielen Dank für den hilfreichen Tipp.
Ich hab mir nun folgendes überlegt:
Es gilt ja [mm]||f_{n} - f_{m}|| < \epsilon[/mm]
Also [mm]\sup \{ |f_{n}(x) - f_{m}(x)| + |f_{n}'(x) - f_{m}'(x)| \} < \epsilon[/mm]
=> [mm]|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \epsilon[/mm] und [mm]|f_{n}'(x) - f_{m}'(x)| < \epsilon[/mm]
=> Folge [mm]f_{k}[/mm] ist in [mm]\IR[/mm] Cauchy-Folge und da in [mm]\IR[/mm] konvergiert Cauchy-Folge gegen ein f.
Also
für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] ex. [mm]N \in \IN[/mm] mit [mm]|f_{k}(x) - f(x)| < \bruch{\epsilon}{2}[/mm] für alle [mm]k > N[/mm]
analog für [mm]f_{k}'[/mm], da auch dies Cauchy-Folge in [mm]\IR[/mm]...
Da Cauchy-Folgen in [mm]\IR[/mm] gleichmäßig konvergieren, konvergiert [mm]f_{k}[/mm] und [mm]f_{k}'[/mm] gleichm. gegen ihren Grenzwert und somit gilt [mm]f'(x)[/mm] ist auch Grenzwert von [mm]f_{k}'[/mm]
(Diesen Satz hatten wir im letzten Semester, also, wenn [mm]f_{n}[/mm] punktw. gegen f konv. Und differenzierbar ist und [mm]f_{n}'[/mm] gleichm. Konvergiert, dann ist Grenzwert von [mm]f_{n}' = f'[/mm]) Wobei ja gleichm. konvergieren punktweise induziert (oder?, ansonsten wäre dieser Satz falsch angewandt...)
ja und jetzt setz ich einfach mal f ein:
z.zg.: [mm]||f_{k}(x) - f(x)|| < \epsilon[/mm] für k >...
[mm]= \sup \{ |f_{k}(x) - f(x)| + |f_{k}'(x) - f'(x)| \} < \epsilon[/mm] , da 1. Summand kleiner [mm]\bruch{\epsilon}{2}[/mm] und 2. Summand kleiner [mm]\bruch{\epsilon}{2}[/mm] (siehe oben)
Und somit folgt die Behauptung...
Kann ich dies so schreiben, oder ist irgendwas nicht korrekt?
LG
Caro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
Deine Überlegung ist im Prinzip richtig, bis auf ein paar Kleinigkeiten.
(Ich habe deinen Artikel etwas bearbeitet, weil die Ableitungsstriche nicht dargestellt wurden - Apostroph geht, Akzent geht nicht richtig)
Nachtrag: max3000 wies mich darauf hin, dass die Argumentation nicht richtig war, deswegen nochmal ne Korrektur...
> Ich hab mir nun folgendes überlegt:
>
> Es gilt ja [mm]||f_{n} - f_{m}|| < \epsilon[/mm]
>
> Also [mm]\sup \{ |f_{n}(x) - f_{m}(x)| + |f_{n}'(x) - f_{m}'(x)| \} < \epsilon[/mm]
>
> => [mm]|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \epsilon[/mm] und [mm]|f_{n}'(x) - f_{m}'(x)| < \epsilon[/mm]
>
> => Folge [mm]f_{k}[/mm] ist in [mm]\IR[/mm] Cauchy-Folge und da in [mm]\IR[/mm]
> konvergiert Cauchy-Folge gegen ein f.
Richtig, das heisst aber zunächst nur punktweise Konvergenz (genau das ist nämlich die Konvergenz in [mm]\IR[/mm]).
> Also
>
> für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] ex. [mm]N \in \IN[/mm] mit [mm]|f_{k}(x) - f(x)| < \bruch{\epsilon}{2}[/mm]
> für alle [mm]k > N[/mm]
> analog für [mm]f_{k}'[/mm], da auch dies
> Cauchy-Folge in [mm]\IR[/mm]...
>
> Da Cauchy-Folgen in [mm]\IR[/mm] gleichmäßig konvergieren,
> konvergiert [mm]f_{k}[/mm] und [mm]f_{k}'[/mm] gleichm. gegen ihren Grenzwert
Ich bin mir nicht sicher, ob du das richtige meinst. In der Voraussetzung geht es um Folgen in [mm]\IR[/mm], in der Folgerung um Folgen in einem Funktionenraum.
Das N kann nämlich zunächst mal von x abhängen. Für die gleichmäßige Konvergenz musst du ein N finden, das nicht von x abhängt.
Ich würde so argumentieren: für alle x gilt:
[mm] |f_{n}(x) - f_{m}(x)| + |f_{n}'(x) - f_{m}'(x)| < \epsilon[/mm]
wenn [mm]n,m>N[/mm]. Wegen der punktweisen Konvergenz gilt diese Ungleichung auch für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]:
[mm] |f(x) - f_{m}(x)| + |f'(x) - f_{m}'(x)| < \epsilon[/mm] für alle x, wenn m>N.
Also ist auch [mm]\sup\{|f(x) - f_{m}(x)| + |f'(x) - f_{m}'(x)| \} < \epsilon[/mm], wenn m>N.
Also gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_n[/mm] und [mm]f'_n[/mm].
> und somit gilt [mm]f'(x)[/mm] ist auch Grenzwert von [mm]f_{k}'[/mm]
> (Diesen Satz hatten wir im letzten Semester, also, wenn
> [mm]f_{n}[/mm] punktw. gegen f konv. Und differenzierbar ist und
> [mm]f_{n}'[/mm] gleichm. Konvergiert, dann ist Grenzwert von [mm]f_{n}' = f'[/mm])
> Wobei ja gleichm. konvergieren punktweise induziert (oder?,
> ansonsten wäre dieser Satz falsch angewandt...)
> ja und jetzt setz ich einfach mal f ein:
>
> z.zg.: [mm]||f_{k}(x) - f(x)|| < \epsilon[/mm] für k >...
>
> [mm]= \sup \{ |f_{k}(x) - f(x)| + |f_{k}'(x) - f'(x)| \} < \epsilon[/mm]
> , da 1. Summand kleiner [mm]\bruch{\epsilon}{2}[/mm] und 2. Summand
> kleiner [mm]\bruch{\epsilon}{2}[/mm] (siehe oben)
>
> Und somit folgt die Behauptung...
Nicht ganz. Für die Vollständigkeit fehlt noch der Nachweis, dass [mm]f\in{\cal C}^{1}([a,b])[/mm], also f stetig diff'bar.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:27 Fr 23.11.2007 | | Autor: | max3000 |
> Brauchst du aber nicht, denn mit dem Trick von max3000
> gilt:
>
> [mm]\epsilon > \sup \{ |f_{n}(x) - f_{m}(x)| + |f_{n}'(x) - f_{m}'(x)| \}\ge \sup\{|f_n(x)-f|+|f-f_m(x)|+|f'_n(x)-f|+|f-f'_m(x)|\}[/mm]
Kleiner Fehler. das Relationszeichen müsste heißen [mm] \le [/mm] und nicht [mm] \ge.
[/mm]
Du wendest ja die Dreiecksungleichung an. Das [mm] \epsilon [/mm] steht dann rechts mit [mm] <\epsilon. [/mm] Du schätzt das ganze mit einer Art Majorante ab.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:30 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Brauchst du aber nicht, denn mit dem Trick von max3000
> > gilt:
> >
> > [mm]\epsilon > \sup \{ |f_{n}(x) - f_{m}(x)| + |f_{n}'(x) - f_{m}'(x)| \}\ge \sup\{|f_n(x)-f|+|f-f_m(x)|+|f'_n(x)-f|+|f-f'_m(x)|\}[/mm]
>
> Kleiner Fehler. das Relationszeichen müsste heißen [mm]\le[/mm] und
> nicht [mm]\ge.[/mm]
> Du wendest ja die Dreiecksungleichung an. Das [mm]\epsilon[/mm]
> steht dann rechts mit [mm]<\epsilon.[/mm] Du schätzt das ganze mit
> einer Art Majorante ab.
OOPS ja, aber dann funktioniert die gesamte Argumentation so nicht, denn daraus kann man nicht schließen, dass das Supremum der einzelnen Terme kleiner als [mm]\epsilon[/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 25.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Ah ok, ja stimmt! Ich hab nochmal bei dem von mir zitierten Satz nachgeschaut und da steht, dass (hab mich verschrieben) aus gleichm. Konvergenenz automatisch differenzierbarkeit folgt für den Grenzwert, also ist f diffbar und f' und somit beide automatisch stetig...
Dies müsste nun aber reichen, oder?
DANKE nochmals 
Caro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Ah ok, ja stimmt! Ich hab nochmal bei dem von mir zitierten
> Satz nachgeschaut und da steht, dass (hab mich
> verschrieben) aus gleichm. Konvergenenz automatisch
> differenzierbarkeit folgt für den Grenzwert, also ist f
> diffbar und f' und somit beide automatisch stetig...
>
> Dies müsste nun aber reichen, oder?
Ich habe diesen Satz nicht vor mir (und kann im Moment nicht nachschlagen).
So aus dem hohlen Bauch heraus hätte ich gesagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz von [mm]f_n[/mm] und der Differenzierbarkeit aller [mm]f_n[/mm] die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von f folgt, aber noch nicht die stetige Differenzierbarkeit von f (also die Stetigkeit von f'). Letztere folgt daraus, dass [mm]f'_n[/mm] auch gleichmäßig gegen f' konvergiert.
Und das reicht auf jeden Fall, um die Vollständigkeit zu zeigen.
Wenn ich micht recht erinnere, nennt man diesen vollständigen Raum Sobolevraum.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
