Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Do 07.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)_n [/mm] reelle Zahlenfolge. Entscheide, ob folgende Variante des Cauchy'schen-Konvergenzkriteriums richtig ist:
Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_0 \in [/mm] IN, so dass | [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt. |
Ich bin mir sicher, dass die Aussage falsch ist, denn das würde ja bedeuten, dass das Kriterium nur für aufeinander folgende Folgenglieder gelten würde. Aber es es gilt ja für 2 beliebige Folgenglieder m,n.
Mir fällt aber kein Gegenbeispiel an, sodass ich das widerlegen kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
versuchs mal mit [mm] a_n=ln(n)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Do 07.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Würde ich gerne, den ln habe wir aber noch nicht definiert, gibt's noch ein anderes Beispiel?
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Wie ich neulich hier auf matheraum.de gelernt habe, könne man dies hier betrachten:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}
[/mm]
EDIT: Summe wurde dank Marcels Hinweis geändert. - Das war in der ursprünglichen Fassung natürlich nicht mein Ziel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 07.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, also diese reihe divergiert und [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] | wäre dann | 1/n - 1/n+1| = | [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] | Und das, was im betrag steht konvergiert. Ist damit dann der Widerspruch schon gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_n=\summe_{i=1}^{n}1/i a_{n+1}=\summe_{i=1}^{n+1}1/i
[/mm]
deine Differenz ist falsch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 07.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Könntest du bitte kurz erklären, wie du auf [mm] a_n=\summe_{i=1}^{n}1/i a_{n+1}
[/mm]
Wenn ich die Differenz bilde, dann setzt ich doch für [mm] a_n \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n ein, oder?
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Hiho,
da zwar bei leduart einfach die Formeldarstellung falsch.
Aber vorweg: Sauber auf die Indizes achten!
> dann setzt ich doch für [mm]a_n \summe_{i=1}^{n}[/mm] 1/n ein
das setzt du bestimmt nicht ein, denn:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 = [mm] \bruch{1}{n}*n [/mm] = 1$
Was du meinst ist:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}$
[/mm]
Und nun bilde mal SAUBER die Differenz:
[mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}| [/mm] = [mm] \left| \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} - \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i}\right| [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 07.06.2012 | | Autor: | rollroll |
... = 1/(n+1)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ... = 1/(n+1)?
ja. Und wenn Du Dir nun ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vorgibst, dann...?
(Erinnere Dich oder mach' Dir klar: Wogegen strebt [mm] $(1/(n+1))_{n \in \IN}$?)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 07.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Das strebt gegen 0, denn: Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein [mm] n_0 \in [/mm] IN mit [mm] 1/(n_0 [/mm] +1) < [mm] \varepsilon. [/mm] damit |1/(n+1) - 0| = 1/(n+1) [mm] \le 1/(n_0 [/mm] +1) < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Ich sehe jetzt i-wie den Widespruch nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das strebt gegen 0, denn: Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Dann gibt es
> ein [mm]n_0 \in[/mm] IN mit [mm]1/(n_0[/mm] +1) < [mm]\varepsilon.[/mm] damit |1/(n+1)
> - 0| = 1/(n+1) [mm]\le 1/(n_0[/mm] +1) < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge n_0.[/mm]
>
> Ich sehe jetzt i-wie den Widespruch nicht....
na, kann denn [mm] $(s_n)_n$ [/mm] mit [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n [/mm] 1/k$ eine Cauchyfolge sein, wenn [mm] $(s_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] nicht konvergent ist?
Allerdings hast Du selbst oben begründet, dass diese in der Aufgabe gestellte "Cauchy-Variante" (ich nenne die Aussage, die hier formuliert wurde, mal so) für die obige Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] gilt.
Wir haben also eine Folge gefunden, die die "Cauchy-Variante" erfüllt, aber keine Cauchyfolge sein kann. Daher liefert die "Cauchy-Variante" nicht immer auch Cauchyfolgen im üblichen Sinne, also ist die "Cauchy-Variante" eigentlich keine wirkliche Cauchy-Variante (denn sie müßte dann äquivalent zur Cauchyfolgendefinition sein).
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:19 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie ich neulich hier auf matheraum.de gelernt habe, könne
> man dies hier betrachten:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}[/mm]
nö: [mm] $\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}=\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}=n*\frac{1}{n}=1\,.$
[/mm]
Du meinst was anderes  (Indexwirrwarr vermeiden!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Leduart,
> Hallo
> versuchs mal mit [mm]a_n=ln(n)[/mm]
auch sehr interessant:
[mm] $a_n \to \infty\,,$ [/mm] also divergiert [mm] $(a_n)_n\,.$
[/mm]
Ferner
[mm] $$a_{n+1}-a_n=\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \to \ln(1)=0\,.$$
[/mm]
Passt wunderbar! 
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | | b) Es gibt ein q mit 0 [mm] \le [/mm] q < 1 und ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] so dass [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] a_{n+1}| [/mm] < [mm] q^{n} [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] gilt. |
Hier bin ich mir nicht so sicher, ob dass gilt:
Mein Problem: das [mm] q^n [/mm] wird ja in abhängigkeit von meinem n kleiner und zwar schnell.
Daher hab ich die Vermutung, dass es Folgen gibt, die konvergent sind, die die aber Aussage nicht erfüllen.
Mir fällt aber keine ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Constantin,
> b) Es gibt ein q mit 0 [mm]\le[/mm] q < 1 und ein [mm]n_{0} \in \IN,[/mm] so
> dass [mm]|a_{n}[/mm] - [mm]a_{n+1}|[/mm] < [mm]q^{n}[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}[/mm] gilt.
> Hier bin ich mir nicht so sicher, ob dass gilt:
> Mein Problem: das [mm]q^n[/mm] wird ja in abhängigkeit von meinem
> n kleiner und zwar schnell.
> Daher hab ich die Vermutung, dass es Folgen gibt, die
> konvergent sind, die die aber Aussage nicht erfüllen.
> Mir fällt aber keine ein.
wie sieht es mit der Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\,,$ [/mm] also der Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] definiert durch
[mm] $$s_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$
[/mm]
denn aus? Bekomme ich [mm] $1/(n+1)^2\,,$ [/mm] was ja sowas wie eine "polynomiale Geschwindigkeit" beim kleinerwerden hat, schneller klein als [mm] $q^n\,,$ [/mm] welches "mit exponentieller Geschwindigkeit" klein wird (bei $n [mm] \to \infty$)?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](a_n)_n[/mm] reelle Zahlenfolge. Entscheide, ob folgende
> Variante des Cauchy'schen-Konvergenzkriteriums richtig
> ist:
>
> Für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm]n_0 \in[/mm] IN, so dass |
> [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge n_0[/mm] gilt.
was ist denn da die Frage "ob sie richtig ist"? Ich verstehe die Frage jedenfalls so, dass man fragt, ob das obenstehende zu der "normalen Definition der Cauchyfolge" äquivalent ist. (Oder ist das so gemeint, dass diese Variante auch eine in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente und damit auch Cauchyfolge charakterisieren soll.)
Dann jedenfalls: Nein, sie ist es nicht. Wenn Du eine Cauchyfolge im üblichen Sinne hast, dann folgt, dass dann auch die obige Variante gilt.
Umgekehrtes ist jedoch falsch. Betrachte einfach die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k\,,$ [/mm] also die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] definiert durch
[mm] $$s_n:=\sum_{k=1}^n 1/k\,.$$
[/mm]
(Du könntest natürlich auch [mm] \sum_{k=1}^n 1/\sqrt{k}$ [/mm] nehmen oder oder oder...)
Gruß,
Marcel
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