Cantors zweites Diagonalargume < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 So 26.11.2006 | | Autor: | AriR |
hey leute,
hab mir gerade bei wiki den artikel zu Cantors zweites Diagonalargument angeguckt und auch soweit nachvollzogen, frage mich nur wo dieser beweis scheitern würde, wenn man zeigen wollte, dass die rationalen zahlen überabzählbar sind.
weiß das vielleicht einer von euch?
gruß ari
|
|
| |
|
Sicher, man kann auch jede rationale Zahl als Dezimalbruch schreiben (abbrechend oder unendlich-periodisch). Und wenn man eine Abzählung dieser Dezimalbrüche hat, kann man den aus den Diagonalen gebildeten Dezimalbruch betrachten. Aber wieso sollte dieser abbrechend oder unendlich-periodisch sein? Da scheitert dann der Widerspruchsbeweis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 So 26.11.2006 | | Autor: | AriR |
irgendwie verstehe nich das noch nicht so ganz :(
(bezeichnungen wie in dem wiki artikel)
angenommen die [mm] z_i [/mm] wären rationale zahlen. dann könnten wir die zahl x auf die selbe art erzeugen wie die rellen [mm] z_i [/mm] oder geht das jetzt nur nicht, weil die zahlen nicht alle unendlich lang sind und man somit keine vernünftige diagonale bekommt?
gruß ari
|
|
|
| |
|
"Aber wieso sollte dieser abbrechend oder unendlich-periodisch sein?"
So habe ich oben gefragt. Und das "beantwortet" auch deine Frage. Vielleicht solltest du dir noch einmal genau klar darüber werden, was eigentlich eine rationale Zahl ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:04 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
ah ich glaube ich habe es jetzt verstanden. selbst wenn man diese zahl x konstruieren kann, kann es gut sein, dass diese irrational ist, da nirgendswo raus folgt, dass diese endlich viele nachkommastellen hat, bzw diese nachkommastellen alle gleich sind.
hoffe das ist richtig so =)
gruß ari
|
|
|
| |
|
Bei einem periodischen Dezimalbruch müssen die Nachkommastellen nicht alle gleich sein. Es muß sich nur dieselbe Ziffernfolge regelmäßig wiederholen.
Zur Klarstellung möchte ich betonen, daß sich jetzt nur der Widerspruch, den man im Falle der rellen Zahlen mit dem zweiten Cantorschen Diagonalverfahren erzeugt, bei den rationalen Zahlen so nicht herstellen läßt. Es ist jedoch mit dieser Überlegung keineswegs bewiesen, daß die rationalen Zahlen abzählbar sind. Man ist sozusagen genau so schlau wie vorher.
Auf der anderen Seite kann man mit dem ersten Cantorschen Diagonalverfahren die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen nachweisen. Also muß der diagonale Dezimalbruch, den man im rationalen Fall mit dem zweiten Cantorschen Diagonalverfahren erhält, zwangsläufig irrational sein. Warum?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
ich würde jetzt sagen, weil die zahl unendlich viele nachkommastellen hat, die nicht zwingend periodisch sind, aber das ist sicher nicht das, was du hören wolltest oder?
|
|
|
| |
|
Sie sind nicht zwingend periodisch. Sicher. Aber sie sind zwingend nichtperiodisch. Überlege einmal: Die rationalen Zahlen sind abzählbar (wissen wir mit Cantors erstem Diagonalverfahren). Wenn wir also nun alle (!!!) rationalen Zahlen als Dezimalbrüche in einer Liste aufschreiben und den diagonalen Dezimalbruch nach Cantors zweitem Diagonalverfahren bilden, dann kann der doch nicht in dieser Liste stehen. Also?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
demnach ist die zahl auf keinen fall rational da sie nicht in der liste aller rationalen zahlen vorkommt und da sie eine deziamalzahl ist auf jeden fall irrational oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
dann mal vielen dank für die gute hilfe :)
lg ari ;)
|
|
|
|
