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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Fr 07.09.2007 | | Autor: | biblis |
hallo,
ich habe mal einige fragen zum cg-verfahren, dabei geht es mir nicht um das rechnen (denn das krieg ich hin), sondern ums verständnis.
das cg-verfahren ist durch das funktional
[mm]\Phi[/mm] (x)= 1/2 x*Ax- x*b
definiert. das minimum dieses funktionals löst das lineare gleichungssymstem Ax=b.
meine iterierten berechne ich mit der formel
x^(k+1)= x^(k) + [mm]\alpha[/mm] d^(k)
d(k) ist meine suchrichtung und [mm]\alpha[/mm] ist meine schrittweite.
soweit versteh ich es noch. doch nun kommt mein erstes problem.
das residuum ist definiert als
r(k)= b-Ax^(k)
dies ist zugleich der negative gradient und zeigt somit in die richtung des steilsten abstiegs. (dieser vorstellung kann ich folgen), aber das residuum ist doch auch irgendwie ein "rest"?!
zur veranschaulichung hat uns der prof die kreisförmigen niveaulinien von [mm]\Phi[/mm] angemalt und der mittelpunkt ist meine lösung des funktionals.
auf einer geraden d(k), die eine tangente zu einer niveaulinie darstellt, liegt mein neuer punkt x^(k+1). von da aus ist es dann am sinnvollsten eine suchrichtung d^(k+1) zu wählen, die senkrecht zu d(k) ist. aber gleichzeitig ist mein neues residuum auch (senkrecht??) zu d(k).
ich hab irgendwo gelesen, dass es nicht sinnvoll ist, immer den weg des steilsten abstiegs zu gehen (also meinem r^(k) folgend), sondern senkrecht zu d(k)).
d^(k+1) erhalte ich aus d^(k+1)= r^(k+1) +[mm]\beta[/mm] d^(k)
aber was sagt mir denn dieses residuum? ich versteh den sinn von ihm nicht.... wieso muss ich es immer wieder berechnen, wenn ich seiner richtung garnicht folge? brauch ich es nur, um mein d^(k+1) zu bestimmen?
weiter stell ich mir die frage, was passiert, wenn meine niveaulinien einmal nicht kreisförmig, sondern elliptisch sind. geh ich dann immer noch genauso vor oder konvergieren meine iterierten dann niemals gegen x?
schließlich haben wir in der vorlesung einige dinge definiert, wie zb.
r^(m)* d(j)= 0 für alle 0<=j<m
r^(m)*r^(j)= 0 für alle 0<=j<m
bedeutet das denn nicht, dass sie alle senkrecht aufeinander stehen? wenn das so ist, wieso ist es dann nicht sinnvoll, der suchrichtung r^(k) zu folgen?
zu guter letzt noch die frage, was das ganze dann mit dem krylov-raum zu tun hat und welche vorteile er mir bietet.
wäre super, wenn mir jemand das ganze verfahren (bildlich) erklären könnte.
gruß
biblis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 13.09.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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