C-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) V ist [mm] \mathbb{R}-Vektorraum. [/mm] I.V [mm] \rightarrow [/mm] V lineare Abb. mit [mm] I^2=-Id.
[/mm]
Definiert man [mm] \mathbb{C}\times V\rightarrow [/mm] V durch:
[mm] \alpha v=Re(\alpha)v+Im(\alpha)I(v) [/mm] für [mm] \alpha \in \mathbb{C} [/mm] und [mm] v\in [/mm] V, dann ist V mit dieser Skalarmultiplikation ein C-Vektorraum.
(ii) Ist W ein [mm] \mathbb{C}-Vektorraum, [/mm] so fasse W als [mm] \mathbb{R}-Vektorraum [/mm] auf. Zeige: [mm] f:W\rightarrow [/mm] W, f(w)=iw ist [mm] \mathbb{R}-linear [/mm] und erfüllt [mm] f^2=-id. [/mm] |
Hallo,
bei (i) bin ich mir garnicht so sicher, was ich alles zeigen muss. Eigentlich doch nur, dass die definierte Multiplikation auch [mm] I^2=-id [/mm] erfüllt oder? Muss ich noch weitere Axiome nachweisen?
Wenn das alles wäre, warum würde das ausreichen nur das zu zeigen? Weil V alle anderen Vektorraum Axiome schon erfüllt, denn es ist bereits ein R-Vektorraum?
Und wie mache ich das mit [mm] I^2=-id.
[/mm]
Ich schreibe [mm] \alpha [/mm] als x+iy und bilde [mm] (I\circ [/mm] I)(x+iy,v) oder?
Und was genau muss am Schluss da rauskommen? Also -id ist klar, also -v doch eigentlich nur oder (Muss ja ein Element aus V sein)?
Zu (ii):
Muss ich hier wirklich nur zeigen:
[mm] f(\lambda w_1+\mu w_2)=\lambda f(w_1)+\mu f(w_2) [/mm] für [mm] w_1,w_2\in [/mm] W und [mm] \lambda,\mu \in \mathbb [/mm] {R}?
Und die Eigenschaft [mm] f^2=-id [/mm] zeigt man schnell.
Gruß Sleeper
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> (i) V ist [mm]\mathbb{R}-Vektorraum.[/mm] I.V [mm]\rightarrow[/mm] V lineare
> Abb. mit [mm]I^2=-Id.[/mm]
> Definiert man [mm]\mathbb{C}\times V\rightarrow[/mm] V durch:
> [mm]\alpha v=Re(\alpha)v+Im(\alpha)I(v)[/mm] für [mm]\alpha \in \mathbb{C}[/mm]
> und [mm]v\in[/mm] V, dann ist V mit dieser Skalarmultiplikation ein
> C-Vektorraum.
>
> (ii) Ist W ein [mm]\mathbb{C}-Vektorraum,[/mm] so fasse W als
> [mm]\mathbb{R}-Vektorraum[/mm] auf. Zeige: [mm]f:W\rightarrow[/mm] W, f(w)=iw
> ist [mm]\mathbb{R}-linear[/mm] und erfüllt [mm]f^2=-id.[/mm]
> Hallo,
>
> bei (i) bin ich mir garnicht so sicher, was ich alles
> zeigen muss. Eigentlich doch nur, dass die definierte
> Multiplikation auch [mm]I^2=-id[/mm] erfüllt oder?
Hallo,
???
Ich kapiere gar nicht, was Du meinst. [mm] I^2=-id [/mm] ist doch vorausgesetzt.
> Muss ich noch
> weitere Axiome nachweisen?
Auf die Gefahr hin, mich zu blamieren:
ich würde jetzt dahergehen und die VR-Axiome, die mit der Multiplikation mit Skalaren zusammenhängen, vorrechnen.
> Wenn das alles wäre, warum würde das ausreichen nur das zu
> zeigen? Weil V alle anderen Vektorraum Axiome schon
> erfüllt, denn es ist bereits ein R-Vektorraum?
>
> Und wie mache ich das mit [mm]I^2=-id.[/mm]
> Ich schreibe [mm]\alpha[/mm] als x+iy und bilde [mm](I\circ[/mm] I)(x+iy,v)
> oder?
> Und was genau muss am Schluss da rauskommen? Also -id ist
> klar, also -v doch eigentlich nur oder (Muss ja ein Element
> aus V sein)?
>
> Zu (ii):
> Muss ich hier wirklich nur zeigen:
> [mm]f(\lambda w_1+\mu w_2)=\lambda f(w_1)+\mu f(w_2)[/mm] für
> [mm]w_1,w_2\in[/mm] W und [mm]\lambda,\mu \in \mathbb[/mm] {R}?
>
Ich würde das so machen.
Gruß v. Angela
> Und die Eigenschaft [mm]f^2=-id[/mm] zeigt man schnell.
>
> Gruß Sleeper
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> ich würde jetzt dahergehen und die VR-Axiome, die mit der
> Multiplikation mit Skalaren zusammenhängen, vorrechnen.
Alle Vektorraumaxiome hängen mit Skalarmultiplikation zusammen.
Wenn ich mir mal das erste rausgreife:
[mm] \alpha(\beta v)=(\alpha\cdot \beta) [/mm] v
[mm] \alpha,\beta \in \mathbb{C},v\in [/mm] V.
Übertragen auf meine Definition:
es galt: [mm] (x+iy,v)\mapsto [/mm] xv+yI(v), wäre das dann:
für [mm] \alpha=x_1+iy_2, \beta=x_2+iy_2:
[/mm]
[mm] (x_1+iy_1)\cdot (x_2+iy_2,v)=(x_1+iy_1)(x_2 v+y_2 [/mm] I(v)).
Das muss dann aber irgendwie das Gleiche sein, wie:
[mm] ((x_1+iy_1)(x_2+iy_2),v). [/mm] Aber wie komme ich da hin? Das klappt bei mir überhaupt nicht.
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> > ich würde jetzt dahergehen und die VR-Axiome, die mit der
> > Multiplikation mit Skalaren zusammenhängen, vorrechnen.
>
> Alle Vektorraumaxiome hängen mit Skalarmultiplikation
> zusammen.
Hallo,
nein, die, die von der additiven Gruppe handeln, nicht.
>
> Wenn ich mir mal das erste rausgreife:
> [mm]\alpha(\beta v)=(\alpha\cdot \beta)[/mm] v
>
> [mm]\alpha,\beta \in \mathbb{C},v\in[/mm] V.
>
> Übertragen auf meine Definition:
> es galt: [mm](x+iy,v)\mapsto[/mm] xv+yI(v), wäre das dann:
>
> für [mm]\alpha=x_1+iy_2, \beta=x_2+iy_2:[/mm]
> [mm](x_1+iy_1)\cdot (x_2+iy_2,v)=(x_1+iy_1)(x_2 v+y_2[/mm]
> I(v)).
> Das muss dann aber irgendwie das Gleiche sein, wie:
> [mm]((x_1+iy_1)(x_2+iy_2),v).[/mm] Aber wie komme ich da hin? Das
> klappt bei mir überhaupt nicht.
Was bekommst Du denn? (Ich würde es bevorzugen, daß Du rechnest und schreibst...)
Du mußt hierbei halt gut aufpassen, was Du multiplizierst: zwei Zahlen miteinander , oder Zahl und Vektor.
Vielleicht ist es übersichtlich, verschiedene Zeichen zu verwenden. Nimm doch für "Zahl mal Vektor" das Zeichen [mm] \odot. [/mm] (Komisches Zeichen für "komische" Multiplikation.),
und schreib sowohl
[mm] (\alpha\beta)\odot [/mm] v
als auch
[mm] \alpha\odot(\beta\odot [/mm] v)
ganz langsam Schritt für Schritt auf.
Gruß v. Angela
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Ok das passt doch alles. War eben nur ein bisschen unübersichtlich. Wenn man das mit unterschiedlichen Zeichen macht, sieht man es viel schneller.
Aber nur noch mal zur Absicherung:
> > Alle Vektorraumaxiome hängen mit Skalarmultiplikation
> > zusammen.
>
> Hallo,
>
> nein, die, die von der additiven Gruppe handeln, nicht.
Ja gut, dass (C,+) abelsche Gruppe ist, ist klar.
Ich muss also zusätzlich noch überprüfen:
IIa: [mm] \alpha [/mm] * (u + v) = [mm] \alpha [/mm] * u + [mm] \alpha [/mm] * v
IIb: [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] ) * v = [mm] \alpha [/mm] * v + [mm] \beta [/mm] * v,
richtig?
Na das wird noch schön viel Schreibarbeit...
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> Ok das passt doch alles. War eben nur ein bisschen
> unübersichtlich. Wenn man das mit unterschiedlichen Zeichen
> macht, sieht man es viel schneller.
Hallo,
ja, es ist erstaunlich, wie man sich mit so kleinen tricks selbst überlisten kann.
>
> Aber nur noch mal zur Absicherung:
>
> > > Alle Vektorraumaxiome hängen mit Skalarmultiplikation
> > > zusammen.
> >
> > Hallo,
> >
> > nein, die, die von der additiven Gruppe handeln, nicht.
>
> Ja gut, dass (C,+) abelsche Gruppe ist, ist klar.
> Ich muss also zusätzlich noch überprüfen:
> IIa: [mm]\alpha[/mm] * (u + v) = [mm]\alpha[/mm] * u + [mm]\alpha[/mm] * v
> IIb: [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] ) * v = [mm]\alpha[/mm] * v + [mm]\beta[/mm] * v,
>
> richtig?
Genau.
Eigentlich ja auch noch [mm] 1\vdot [/mm] v=v.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | (3) Nun wieder: V ein [mm] \mathbb{R}-Vektorraum [/mm] mit linearer Abb. [mm] I:V\rightarrow V,I^2=-id. [/mm] Zeige: V [mm] endlich-dimensional\Rightarrow [/mm] dimV ist gerade.
(4) Wenn U I-invarianter Unterraum von V [mm] ist\Rightarrow [/mm] es gibt I-invarianten Unterraum U', so dass gilt: V=U [mm] \oplus [/mm] U' |
Zu (3). Ich dachte mir, ich betrachte die Determinante. Dann [mm] det(J)^2=det(-id_V)=(-1)^n.
[/mm]
Jetzt muss die Determinante aber gleich 1 [mm] sein\Rightarrow [/mm] n=2k.
Ich weiß allerdings nicht genau, wie ich das noch weiter begründen soll, dass [mm] det(J)^2=1 [/mm] ist. Komme ich da mit der offensichtlichen Bijektivität von I weiter?
Zu (4). Ist mir intuitiv klar, aber formal stehts noch nicht da.
Es gilt ja [mm] I(u)\subset [/mm] U [mm] \forall u\in [/mm] U. Dann ist [mm] I^2(u)=-u. [/mm] Ich weiß aber nicht genau wie ich weiter mache...
Es muss gelten: [mm] U\cap [/mm] U'=0.
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> (3) Nun wieder: V ein [mm]\mathbb{R}-Vektorraum[/mm] mit linearer
> Abb. [mm]I:V\rightarrow V,I^2=-id.[/mm] Zeige: V
> [mm]endlich-dimensional\Rightarrow[/mm] dimV ist gerade.
>
> (4) Wenn U I-invarianter Unterraum von V [mm]ist\Rightarrow[/mm] es
> gibt I-invarianten Unterraum U', so dass gilt: V=U [mm]\oplus[/mm]
> U'
> Zu (3). Ich dachte mir, ich betrachte die Determinante.
> Dann [mm]det(J)^2=det(-id_V)=(-1)^n.[/mm]
>
> Jetzt muss die Determinante aber gleich 1 [mm]sein\Rightarrow[/mm]
> n=2k.
> Ich weiß allerdings nicht genau, wie ich das noch weiter
> begründen soll, dass [mm]det(J)^2=1[/mm] ist.
Hallo,
hierzu fällt mir auf die Schnelle auch nichts ein.
Ich kenne aber das Minimalpolynom von l, und ich denke, daß Du es auch kennst.
Gruß v. Angela
> Zu (4).
Müßte ich erst noch nachdenken.
Ist mir intuitiv klar, aber formal stehts noch
> nicht da.
> Es gilt ja [mm]I(u)\subset[/mm] U [mm]\forall u\in[/mm] U. Dann ist
> [mm]I^2(u)=-u.[/mm] Ich weiß aber nicht genau wie ich weiter
> mache...
> Es muss gelten: [mm]U\cap[/mm] U'=0.
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> Ich kenne aber das Minimalpolynom von l, und ich denke, daß
> Du es auch kennst.
>
> Gruß v. Angela
>
Ja kenne ich. Ich denke ich habe (3) jetzt auch.
Aber mal eine allgemeine Frage.
Enthält das Minimalpolynom immer alle Eigenwerte? Anders ausgedrückt: Wenn ich das Minimalpolynom gleich 0 setze und nach [mm] \lambda [/mm] auflöse, erhalte ich dann alle Eigenwerte? Und kann ich daraus dann schon Rückschlüsse auf ihre algebraische Vielfachheit ziehen?
Wenn ichs mal beispielhaft erkläre: Minimalpolynom [mm] m=X^2-3.
[/mm]
Dann X=+/- [mm] \sqrt{3}. [/mm] Wären das auch alle Eigenwerte? Und wenn nun [mm] X=\sqrt{3} [/mm] die Vielfachheit s hat, hat [mm] X=-\sqrt{3} [/mm] auch die Vielfachheit s?
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> Enthält das Minimalpolynom immer alle Eigenwerte?
Hallo,
ja, so ist es.
> Anders
> ausgedrückt: Wenn ich das Minimalpolynom gleich 0 setze und
> nach [mm]\lambda[/mm] auflöse, erhalte ich dann alle Eigenwerte?
Ja.
> Und
> kann ich daraus dann schon Rückschlüsse auf ihre
> algebraische Vielfachheit ziehen?
Nein.
> Wenn ichs mal beispielhaft erkläre: Minimalpolynom
> [mm]m=X^2-3.[/mm]
> Dann X=+/- [mm]\sqrt{3}.[/mm] Wären das auch alle Eigenwerte?
Ja.
> Und
> wenn nun [mm]X=\sqrt{3}[/mm] die Vielfachheit s hat, hat [mm]X=-\sqrt{3}[/mm]
> auch die Vielfachheit s?
Nein, nicht unbedingt.
Gruß v. Angela
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> (4) Wenn U I-invarianter Unterraum von V [mm]ist\Rightarrow[/mm] es
> gibt I-invarianten Unterraum U', so dass gilt: V=U [mm]\oplus[/mm]
> U'
> Zu (4). Ist mir intuitiv klar,
Hallo,
echt? Wieso? Was hast Du Dir dazu überlegt/vorgestllt?
Mir fehlt hier leider völlig die Intuition.
> aber formal stehts noch
> nicht da.
> Es gilt ja [mm]I(u)\subset[/mm] U [mm]\forall u\in[/mm] U. Dann ist
> [mm]I^2(u)=-u.[/mm] Ich weiß aber nicht genau wie ich weiter
> mache...
> Es muss gelten: [mm]U\cap[/mm] U'=0.
Eine gewisse Lebenserfahrung sagt mir, daß man für diesen Aufgabenteil wohl vorhergehende irgendwie benötigt...
Ich habe mir jetzt überlegt, daß f über [mm] \IC [/mm] zu einer Diagonalmatrix [mm] \pmat{iE_n&0\\0&-iE_n} [/mm] ähnlich ist.
Ich hab's nicht bis zum bitteren Ende überlegt, aber hier würde ich weiterdenken. Teil 2) sieht ja auch so aus, als würde er verflixt gut passen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Sei w: V x V -> [mm] \IR [/mm] eine schiefsymmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist.
Zeigen Sie, dass für alle v,u [mm] \in [/mm] V gilt : w(v,u)=w(J(v),J(u)) |
Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Aufgab.
Da es hier auch um eine komplexe Struktur auf einem [mm] \IR [/mm] -VR geht, habe ich meine Frage hierher geschrieben, ich hoffe das geht in Ordnung.
Dieses J steht für obiges I, d.h. J [mm] \in [/mm] End(V) mit [mm] J^2=-Id_V.
[/mm]
Kann mir jemand sagen, welcher Ansatz hier sinnvoll ist?
Ich konnte zeigen, dass [mm] \forall [/mm] v,u [mm] \in [/mm] V: [mm] w(v,u)=w(J^2(v),J^2(u)) [/mm] aber irgendwie bringt mich das nicht weiter.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 18.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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