Brüche p-adisch darstellen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 14.12.2010 | | Autor: | Okus |
| Aufgabe | a) Bestimme eine Folge [mm] (a_{k})_{k \in \IZ} [/mm] mit [mm] a_{k}=\{0,1\} [/mm] derart, dass gilt:
[mm] \bruch{205}{48} [/mm] = [mm] \summe_{k \in \IZ}^{} \bruch{a_{k}}{2^{k}}
[/mm]
b) Bestimme eine Folge [mm] (a_{k})_{k \in \IN} [/mm] mit [mm] a_{k}=\{0,1,2\} [/mm] derart, dass gilt:
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{3^{k}}
[/mm]
c) Bestimme eine Folge [mm] (a_{k})_{k \in \IN} [/mm] mit [mm] a_{k}=\{0,1,2,3,4,5,6\} [/mm] derart, dass gilt:
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{7^{k}} [/mm] |
Hi,
ich kann alle ganzen Zahlen p-adisch darstellen, doch wie mache ich das mit Brüchen.
Ich habe überlegt, dass die "Zahlen", die am Ende herauskommen folgende sind:
a) 100.01000101010... (binär)
b) 0.012101210121012... (tertiär)
c) 0.12541254125412... (7er System)
Ich weiß aber nicht, wie ich das formal aufschreibe und wie ich überhaupt rechnerisch drauf komme.
Vielen Dank,
Okus
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Hallo Okus,
> a) Bestimme eine Folge [mm](a_{k})_{k \in \IZ}[/mm] mit [mm]a_{k}={0,1}[/mm]
> derart, dass gilt:
> [mm]\bruch{205}{48}[/mm] = [mm]\summe_{k \in \IZ}^{} \bruch{a_{k}}{2^{k}}[/mm]
>
> b) Bestimme eine Folge [mm](a_{k})_{k \in \IN}[/mm] mit
> [mm]a_{k}={0,1,2}[/mm] derart, dass gilt:
> [mm]\bruch{1}{5}[/mm] = [mm]\summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{3^{k}}[/mm]
>
> c) Bestimme eine Folge [mm](a_{k})_{k \in \IN}[/mm] mit
> [mm]a_{k}={0,1,2,3,4,5,6}[/mm] derart, dass gilt:
> [mm]\bruch{1}{5}[/mm] = [mm]\summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{7^{k}}[/mm]
>
> Hi,
>
> ich kann alle ganzen Zahlen p-adisch darstellen, doch wie
> mache ich das mit Brüchen.
Nehmen wir an, Du hast einen echten Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm]
Dieser Bruch soll dann so dargestellt werden.
[mm]\bruch{p}{q}=\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k}}}[/mm]
Um jetzt das [mm]a_{1}[/mm] herauszubekommen, multiplizieren wir mit 2:
[mm]2*\bruch{p}{q}=2*\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k}}}=\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-1}}}=a_{1}+\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-1}}}[/mm]
[mm]a_{1}[/mm] ist demnach der ganzzahlige Anteil von [mm]2\bruch{p}{q}[/mm]
Es ergibt sich dann folgende Gleichung:
[mm]2*\bruch{p}{q}-a_{1}=\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-1}}}[/mm]
Wiederum führt eine Multiplikation mit 2 zur Bestimmung von [mm]a_{2}[/mm]:
[mm]2*\left(2*\bruch{p}{q}-a_{1}\right)=2*\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k}-1}}=\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-2}}}=a_{2}+\summe_{k=3}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-2}}}[/mm]
Damit ist [mm]a_{2}[/mm] ist demnach der ganzzahlige Anteil von [mm]2*\left(2*\bruch{p}{q}-a_{1}\right)[/mm]
Die [mm]a_{k}[/mm]'s kommen durch fortlaufende Multiplikation mit der Basis 2
und der dann folgenden Bestimmung des ganzzahligen Anteils zustande.
> Ich habe überlegt, dass die "Zahlen", die am Ende
> herauskommen folgende sind:
> a) 100.01000101010... (binär)
> b) 0.012101210121012... (tertiär)
> c) 0.12541254125412... (7er System)
>
> Ich weiß aber nicht, wie ich das formal aufschreibe und
> wie ich überhaupt rechnerisch drauf komme.
>
> Vielen Dank,
>
> Okus
Gruss
MathePower
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