Bruch integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich habe noch ein Integral bei dem ich überhaupt nicht zurecht komme:
[mm] $\integral{\frac{1}{(x^2-x)(x^2-x+1)}dx}$
[/mm]
Wie schaffe ich so etwas bzw. welcher Ansatz bietet sich hier an? Ich sehe das leider nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Do 31.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ralf!
Zunächst steht hier eine  Partialbruchzerlegung an:
[mm]\bruch{1}{\left(x^2-x\right)*\left(x^2-x+1\right)} \ = \ \bruch{1}{x*\left(x-1\right)*\left(x^2-x+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x} +\bruch{B}{x-1}+\bruch{C*x+D}{x^2-x+1}[/mm]
Anschließend gilt es dann, alle 3 Brüche separat zu integrieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo Ralf!
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> Zunächst steht hier eine Partialbruchzerlegung an:
>
> [mm]\bruch{1}{\left(x^2-x\right)*\left(x^2-x+1\right)} \ = \ \bruch{1}{x*\left(x-1\right)*\left(x^2-x+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x} +\bruch{B}{x-1}+\bruch{C*x+D}{x^2-x+1}[/mm]
>
> Anschließend gilt es dann, alle 3 Brüche separat zu
> integrieren.
>
>
> Gruß
> Loddar
Dankeschön :)
Dann wäre ich also bei :
[mm] $\frac{A*(x-1)(x^2-x+1)+B*x*(x^2-x+1)+Cx^2(x-1)+Dx(x-1)}{(x^2-x)(x^2-x+1)}$
[/mm]
[mm] $\frac{A*(x^3-2x^2+2x-1)+B*(x^3-x^2+x)+C(x^3-x^2)+D(x^2-x)}{(x^2-x)(x^2-x+1)}$
[/mm]
[mm] $0=Ax^3+Bx^3+Cx^3$ [/mm] -> $A=-B-C$
[mm] $0=-2Ax^2-Bx^2-Cx^2+Dx^2$ [/mm] -> [mm] $A=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C-D$
[/mm]
$0=2Ax+Bx-D$ -> [mm] $A=-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}D$
[/mm]
$1=-A$ -> $A=-1$
Da blicke ich nun überhaupt nicht mehr durch. Kann man das irgendwie lösen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> > Hallo Ralf!
> >
> >
> > Zunächst steht hier eine Partialbruchzerlegung an:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\left(x^2-x\right)*\left(x^2-x+1\right)} \ = \ \bruch{1}{x*\left(x-1\right)*\left(x^2-x+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x} +\bruch{B}{x-1}+\bruch{C*x+D}{x^2-x+1}[/mm]
>
> >
> > Anschließend gilt es dann, alle 3 Brüche separat zu
> > integrieren.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> Dankeschön :)
> Dann wäre ich also bei :
>
> [mm]\frac{A*(x-1)(x^2-x+1)+B*x*(x^2-x+1)+Cx^2(x-1)+Dx(x-1)}{(x^2-x)(x^2-x+1)}[/mm]
>
> [mm]\frac{A*(x^3-2x^2+2x-1)+B*(x^3-x^2+x)+C(x^3-x^2)+D(x^2-x)}{(x^2-x)(x^2-x+1)}[/mm]
> [mm]0=Ax^3+Bx^3+Cx^3[/mm] -> [mm]A=-B-C[/mm]
> [mm]0=-2Ax^2-Bx^2-Cx^2+Dx^2[/mm] -> [mm]A=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C-D[/mm]
> [mm]0=2Ax+Bx-D[/mm] -> [mm]A=-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}D[/mm]
> [mm]1=-A[/mm] -> [mm]A=-1[/mm]
>
> Da blicke ich nun überhaupt nicht mehr durch. Kann man das
> irgendwie lösen?
Oh ja also
> [mm]\frac{A*(x-1)(x^2-x+1)+B*x*(x^2-x+1)+Cx^2(x-1)+Dx(x-1)}{(x^2-x)(x^2-x+1)}[/mm]
>
> [mm]\frac{A*(x^3-2x^2+2x-1)+B*(x^3-x^2+x)+C(x^3-x^2)+D(x^2-x)}{(x^2-x)(x^2-x+1)}[/mm]
> [mm]0=A+B+C[/mm] -> [mm]A=-B-C[/mm]
> [mm]0=-2A-B-C+D[/mm] -> [mm]A=-\frac{1}{2}B-\frac{1}{2}C+\frac{1}{2}D[/mm]
> [mm]0=2A+B-D[/mm] -> [mm]A=-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}D[/mm]
> [mm]1=-A[/mm] -> [mm]A=-1[/mm]
Aus der 1. Gleichung bekomme ich dann :
$C=1-B$
und aus 3:
$D=-2+B$
in (2) eingesetzt:
$-2=-3+B$
$B=1$
in (1):
$-1=-1+C$
$C=0$
in (3)
$-2=-1+D$
$D=-1$
Ist das richtig?
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Hallo ralfr,
Ja, das ist richtig - also die Bestimmung von A,B,C,D.
Jetzt fehlt noch die Integration, aber alle einzelnen Integrale sind einfach zu lösen. Also: dann mal los.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Fr 01.02.2013 | | Autor: | ralfr |
[mm] $\integral{\bruch{-1}{x} +\bruch{1}{x-1}+\bruch{-1}{x^2-x+1} dx}=-ln(x)+ln(x-1)-\integral{\bruch{1}{x^2-x+1} dx}$
[/mm]
Das letzte integral macht mir zu schaffen :( Gibt es da ein Tipp von den Profis?
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Hallo nochmal,
> [mm]\integral{\bruch{-1}{x} +\bruch{1}{x-1}+\bruch{-1}{x^2-x+1} dx}=-ln(x)+ln(x-1)-\integral{\bruch{1}{x^2-x+1} dx}[/mm]
Soweit richtig!
> Das letzte integral macht mir zu schaffen :( Gibt es da ein
> Tipp von den Profis?
Ich bin gerade echt zu faul, das vorzurechnen. 
Kannst Du mit der Auskunft von wolframalpha.com etwas anfangen?
Hier ist sie:
Take the integral:
integral [mm] 1/(x^2-x+1) [/mm] dx
For the integrand [mm] 1/(x^2-x+1), [/mm] complete the square:
= integral [mm] 1/((x-1/2)^2+3/4) [/mm] dx
For the integrand [mm] 1/((x-1/2)^2+3/4), [/mm] substitute u = x-1/2 and du = dx:
= integral [mm] 1/(u^2+3/4) [/mm] du
Factor 3/4 from the denominator:
= integral 4/(3 ((4 [mm] u^2)/3+1)) [/mm] du
Factor out constants:
= 4/3 integral 1/((4 [mm] u^2)/3+1) [/mm] du
For the integrand 1/((4 [mm] u^2)/3+1), [/mm] substitute s = (2 u)/sqrt(3) and ds = 2/sqrt(3) du:
= (2 integral [mm] 1/(s^2+1) [/mm] ds)/sqrt(3)
The integral of [mm] 1/(s^2+1) [/mm] is tan^(-1)(s):
= (2 tan^(-1)(s))/sqrt(3)+constant
Substitute back for s = (2 u)/sqrt(3):
= (2 tan^(-1)((2 u)/sqrt(3)))/sqrt(3)+constant
Substitute back for u = x-1/2:
Answer: |
| = (2 tan^(-1)((2 x-1)/sqrt(3)))/sqrt(3)+constant
Im Prinzip gehen alle Integrale vom Typ [mm] \int\bruch{1}{x^2+ax+b}dx [/mm] so; es lohnt sich also, das mal durchzuarbeiten. Das gilt allerdings nur, wenn [mm] x^2+ax+b=0 [/mm] keine reelle Lösung hat.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Fr 01.02.2013 | | Autor: | ralfr |
Dankeschön :) Ich konnte es nachvollziehen, aber da soll ein normaler Mensch drauf kommen? :D
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Hallo nochmal,
> Dankeschön :) Ich konnte es nachvollziehen, aber da soll
> ein normaler Mensch drauf kommen? :D
Ja, sogar in Prüfungen...
Genau deswegen muss man es einmal gesehen haben und selbst durchdenken. Dann ist es gar nicht mehr so schwierig, wie es beim ersten Anblick bestimmt aussieht.
Für Partialbruchzerlegungen jedenfalls muss man das unbedingt können!
...und ehrlich gesagt muss ich es auch immer wieder einmal nachschauen.
Viel Erfolg also und herzliche Grüße
reverend
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siehe oben!
