Brauche h-Methode < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Do 07.04.2005 | | Autor: | Pilz |
Hallo, könnte mir jemand die h-Methode allgemein oder am Beispiel
" f(x)=x²+4 P(4 / 2) " erklären?
Danke im Vorraus.
(Nein, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Do 07.04.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo, könnte mir jemand die h-Methode allgemein oder am
> Beispiel
> " f(x)=x²+4 P(4 / 2) " erklären?
>
> Danke im Vorraus.
> (Nein, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
Hallo Pilz,
also du willst mit der h-Methode die Ableitung/Steigung bestimmen.
Dafür erinnern wir uns gerade mal an die Mittelstufe und überlegen,
wie wir damals die Steigung einer Geraden ermittelt haben. Es war
die 2-Punkt-Steigungsform, für die Steigung $m$ gilt:
[mm] $m=\bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
[/mm]
Mit dieser Formel können wir die durchschnittliche Steigung zwischen [mm] $x_1$
[/mm]
und [mm] $x_2$ [/mm] ermitteln. Da wir allerdings die Steigung in einem Punkt berechnen
wollen, muss der Abstand zwischen diesen beiden x-Werten minimal werden.
Den Abstand der beiden x-Werte bezeichnen wir mit $h$, sodass gilt:
[mm] $x_1=x$ [/mm] und [mm] $x_2=x+h$.
[/mm]
Das können wir nun schon einmal in die Formel einsetzen:
[mm] $m=\bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\bruch{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Nun setzen wir für $f(x)$ ein, also [mm] $f(x)=x^2+4$. [/mm]
Da der Abstand minimal werden soll, lassen wir $h$ gegen $0$ laufen,
also [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}$. [/mm] Nun sieht die Formel so aus:
[mm] $m=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(x+h)^2+4-(x^2+4)}{h}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^2+2xh+h^2+4-x^2-4}{h}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2xh+h^2}{h}$
[/mm]
so nun kürzen wir mit $h$
[mm] $m=\limes_{h\rightarrow 0}2x+h$
[/mm]
$m=2x$
Und nun sind wir fertig  .
Die Ableitung ist da, $f'(x)=2x$
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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Hallo Fugre,
ich hab nach der h-Methode gesucht und bin auf deine Erklärung gestoßen-ist sehr gut. Aber was ich nicht versteh, ist der Übergang von [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] zu [mm] \bruch{(x+h)²+4-(x²+4)}{h}. [/mm]
Wie wird "x+h" zu "(x+h)²+4??
Danke schonmal im Voraus
Gruß
Crinkle
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Hallo Crinkle!
Hier wurde die konkrete Funktion aus der Aufgabenstellung mit $f(x) \ = \ [mm] x^2+4$ [/mm] genommen und für jedes $x_$ der Term $(x+h)_$ eingesetzt:
[mm] $$f(\red{x+h}) [/mm] \ = \ [mm] (\red{x+h})^2+4$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Di 15.01.2008 | | Autor: | Crinkle90 |
Hi Roadrunner,
danke für die Antwort.
Jetzt ist mir alles klar.
Gruß
Crinkle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Do 07.04.2005 | | Autor: | Pilz |
Soweit, so gut, erstmal vielen Dank =D
Wenn du mir noch ein letztes mal (muss nicht ganz so ausführlich sein :P)
f(x)=2x³+x P(1/3) vorrechnen könntest, wäre ich sehr froh :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Do 07.04.2005 | | Autor: | Pilz |
Hat sich alles erledigt, habe die h-Methode nun verstanden =P
Nochmal VIELEN VIELEN DANK für deine gute und nette Antwort =D
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Hi Pilz!
Zunächst einmal: einen bestimmten Punkt brauchst du meines Wissens nicht für die h-Methode.
Dass du nach einer so schönen Antwort von Fugre nochmal ein Beispiel willst, wundert mich zwar ein bisschen, aber was solls:
Ich spare mir die Einleitung und gehe gleich zur Grenzwertbestimmung:
[mm]m = \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm]
Für [mm]f(x) = 2x^3 + x[/mm] gilt dann:
[mm]m = \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{2*(x + h)^3 + (x + h) - f(x)}{h}[/mm]
Nun müssen wir (x+h)³ ausmultiplizieren:
[mm]\gdw m = \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{2 * (x^3 + 3x^{2}h + 3xh^2 + h^3) + (x + h) - (2x^3 + x)}{h}[/mm]
Dann ziehen wir die 2 in die Klammer mit rein und lassen sie weg:
[mm]\gdw m = \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{2x^3 + 6x^{2}h + 6xh^2 + 2h^3 + x + h -2x^3 - x}{h}[/mm]
Jetzt nur noch vereinfachen und die Terme rausnehmen, die sich gegenseitig auslöschen:
[mm]\gdw m = \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{6x^{2}h + 6xh^2 + 2h^3 + h }{h}[/mm]
Und dann können wir mit h kürzen:
[mm]\gdw m = \limes_{h \rightarrow 0} 6x^{2} + 6xh + 2h^2 + 1[/mm]
Somit folgt als letzter Schritt:
[mm]\gdw m = 6x^2 + 1[/mm]
Und das ist genau die Ableitung [mm]f'(x)[/mm].
Ich hoffe, das reicht jetzt
Gruss,
Michael
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hey michael..
kannst du mir vll noch einmal die h-methode am meinem beispiel erklären? ich blicke da noch nicht ganz durch...
jetzt schon einmal danke!
lg klene_anny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 28.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo anny
Ein bissel mehr musst du schon selbst tun!
Da ist doch schon ein Beispiel mit [mm] x^3 [/mm] vorgerechnet,guck das genau an, und uebertrag es Stueck fuer Stueck auf dein Beispiel, und dann sag genau, wo du in Schwierigkeiten kommst!
Denn noch besser erklaeren kann mans wohl nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 So 28.01.2007 | | Autor: | klene_anny |
he leduart...
ich wollt dir auch nur kurz bescheid geben,dass ich es jetzt verstanden habe...
lg
klene_anny
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