Brauche h-Methode < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie anhand der Definition der Ableitung (h-Methode) die Ableitungsfunktion.
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = 3
a) f(x) = [mm] \bruch{1}{x^{2} +1}
[/mm]
b) f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] |
Die h-Methode habe ich so in etwa verstanden, aber ich bekomme trotzdem keine ordentlichen Ergebnisse raus, sondern eine Zahl, die sich ganz wegkürzt. Kann mir bitte jemand helfen?
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.)
|
|
| |
|
Hallo beccamaus und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Auch hier gilt wieder: Zeige uns bitte zumindest deine Ansätze her.
Es lässt sich nämlich nach kleinen Umformungen in beiden Fällen das "h" doch rauskürzen.
Mache dazu jeweils die Brüche im Zähler des Doppelbruchs gleichnamig..
Ich mache mal für die erste einen Anfang, dann rechnest du aber weiter, ok? 
Also mit [mm] $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ [/mm] ist [mm] $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}}{h}=\frac{1}{h}\cdot{}\frac{x^2+1-[(x+h)^2+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot{}[x^2+1]}=...$
[/mm]
Das fasse nun mal weiter zusammen, dann siehst du, dass sich das "h" wegkürzen lässt und du "gefahrlos" den Grenzübergang [mm] $h\to [/mm] 0$ machen kannst
Bei der anderen Aufgabe klappt das ganz ähnlich, mache wieder gleichnamig und denke dann für die weitere Umformung des Zählers an die 3. binomische Formel.
Also probier's mal und frag' nach, wenn du hängen bleibst, aber bitte dann mit eigenen Ansätzen
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mo 25.02.2008 | | Autor: | ice2k |
Hallo schachuzipus,
wieso wird bei der Termumformung aus
[mm] \frac{\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}}{h}
[/mm]
auf einmal
[mm] \frac{1}{h}\cdot{}\frac{x^2+1-[(x+h)^2+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot{}[x^2+1]}
[/mm]
und nicht "-" anstatt dem "*" in der unteren Zeile?
Liebe Grüße,
Alex
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Alex,
ich habe die Brüche im Zähler, also $\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}$, gleichnamig gemacht.
Der Hauptnenner ist hier das Produkt der beiden "Einzelnenner", also $[(x+h)^2+1]\cdot{}[x^2+1]$
Also müssen wir hier den ersten Bruch mit $\blue{x^2+1}$ erweitern und bekommen:
$\frac{1}{(x+h)^2+1}=\frac{\blue{x^2+1}}{[(x+h)^2+1]\cdot{}\blue{[x^2+1]}}$
Den zweiten Bruch mit $\blue{(x+h)^2+1}$ erweitern, das gibt
$\frac{1}{x^2+1}=\frac{\blue{(x+h)^2+1}}{[x^2+1]\cdot{}\blue{[(x+h)^2+1]}}$
Also insgesamt $\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{\blue{x^2+1}}{[(x+h)^2+1]\cdot{}\blue{[x^2+1]}}-\frac{\blue{(x+h)^2+1}}{[x^2+1]\cdot{}\blue{[(x+h)^2+1]}}=\frac{x^2+1-[(x+h)^2+1]}{[x^2+1]\cdot{}[(x+h)^2+1]$
Hier kannst du dann den Zähler zusammenfassen, es kürzt sich so einiges weg und du kannst dann "h" ausklammern, das du gegen das $\frac{1}{h}$ kürzen kannst, welches ich jetzt der Übersicht halber nicht mit aufgeschrieben habe
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
soweit bin ich auch gekommen, aber danach weiß ich einfach nicht, wie ich weiter kürzen kann und was mir die nullstelle bringt.
[mm] \bruch{\bruch{1}{((x+h)^2) + 1} - \bruch{1}{(x^2) + 1}}{h} [/mm] =
[mm] \bruch{\bruch{(x^2) + 1}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)} - \bruch{((x+h)^2) +1}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)}}{h}=
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{(x^2) + 1)-((x+h)^2) +1}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)}}{h}=
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{(2+2hx+(h^2))}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)}}{h}=
[/mm]
[mm] \bruch{(h^2)+(2(h^2))+(h^3)}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \bruch{x}{((x^2)+1)((x^2)+1)}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \bruch{x}{((x^4)+2(x^2)+1)}
[/mm]
soweit, sogut! wenn ich jetzt die nullstelle bei drei einsetze, dann komm ich auf ein ergebnis von 0,03.
aber wofür brauch ich das und wie mach ich daraus jetzt eine Tangentengleichung?
Schonmal danke im voraus!
p.s.: tut mir leid, das ich so viele klammern mache, bin so an meinen taschenrechner gewöhnt, der die alle braucht für ein richtiges ergebnis
|
|
|
| |
|
Hallo beccamaus,
> soweit bin ich auch gekommen, aber danach weiß ich einfach
> nicht, wie ich weiter kürzen kann und was mir die
> nullstelle bringt.
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{((x+h)^2) + 1} - \bruch{1}{(x^2) + 1}}{h}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\bruch{(x^2) + 1}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)} - \bruch{((x+h)^2) +1}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)}}{h}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{(x^2) + 1)-((x+h)^2) +1}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)}}{h}=[/mm]
Da sind wohl ein paar Klammern abhanden gekommen:
[mm]\bruch{\bruch{\left\red{(}(x^2) + 1)-((x+h)^2) +1\right\red{)}}{(((x+h)^2)+1 )*((x^2)+1)}}{h}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
