www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Brauche eine Lösung
Brauche eine Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Brauche eine Lösung: Lösungsweg gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 So 13.08.2006
Autor: plankton

Aufgabe
Lösen sie die Gleichung dp(z)/dz=(p(z)+s)/z

Hi,
schreibe grad an eine Hausarbeit für ein VWL-Seminar und hab mich schon durch den Rest gekämpft.

Leider hab ich noch nie was von Differenzialgleichungen gehört und habe versucht mich in die Thematik einzulesen und bin irgendwie immer noch nicht weiter.
Mir fehlen die Rechenschritte für die obige Gleichung, da die Lösung im Paper gegeben ist

Lösung wäre: p(z)=v*z+s mit v=(p+s)/z

Wäre toll, wenn mir jemand das mal Schritt für Schritt erklären kann

Danke

bye Plankton

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Brauche eine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo Plankton!

> Lösen sie die Gleichung dp(z)/dz=(p(z)+s)/z
>  Hi,
>  schreibe grad an eine Hausarbeit für ein VWL-Seminar und
> hab mich schon durch den Rest gekämpft.
>
> Leider hab ich noch nie was von Differenzialgleichungen
> gehört und habe versucht mich in die Thematik einzulesen
> und bin irgendwie immer noch nicht weiter.
>  Mir fehlen die Rechenschritte für die obige Gleichung, da
> die Lösung im Paper gegeben ist
>  
> Lösung wäre: p(z)=v*z+s mit v=(p+s)/z

Moment mal! Es ist also $p(z) = v z + s = [mm] \frac{p + s}{z} [/mm] z + s = p + s + s = p + 2 s$, also ist die Funktion unabhaengig von $z$?! Damit ist $d p(z)/d z = 0$, jedoch ist $(p(z) + s)/z = (p + 2 s + s)/z = (p + 3 s)/z$ im allgemeinen nicht 0, es sei denn $p + 3 s = 0$... Also entweder gilt $p + 3 s = 0$, oder dies ist keine Loesung der DGL!

Nachtrag #1: Oeh, und vor allen Dingen: $p$ ist die Funktion, also macht der Ausdruck $v = [mm] \frac{p + s}{z}$ [/mm] ja so richtig keinen Sinn! Irgendwas stimmt da nicht!

Nachtrag #2: Mmmh, also wenn du die Funktion $p(z) = v z - s$ betrachtest, mit $v$ einer beliebigen Konstante, dann waer das eine Loesung: Es ist $d p(z)/d z = v$, und $(p(z) - s)/z = (v z)/z = v$. Hast du dich vielleicht vertippt? Auf jeden Fall stimmt $v = [mm] \frac{p \pm s}{z}$ [/mm] nicht!

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Brauche eine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 So 13.08.2006
Autor: plankton

Hi Felix,
danke für deine Hilfe.

Also das v soll die Integrationskonstante sein und v definiert sich als (p+s)/z wobei das p von z abhängt.

Die Lösung stimmt schon (kommt auch laut maple raus), aber ich finde den Lösungsweg nicht, weil das für mich total neu ist

Wie würdest du denn die Gleichung lösen?

bye Plankton




Bezug
                        
Bezug
Brauche eine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 So 13.08.2006
Autor: plankton

achja, der autor hat die lösung auch vereinfacht damit diese rauskommt

ist das v vielleicht der anfangswert den man für die integrationskonstante einsetzt?


Bezug
                                
Bezug
Brauche eine Lösung: Hau-drauf-Lösung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 So 13.08.2006
Autor: Event_Horizon

Also, ich bin mir deiner Aufgabenstellung nicht ganz sicher.

meiner Meinung nach ist v wohl auch eine Konstante, das hieße aber, daß v sowas wie [mm] $v=\bruch{p_0+s}{z_0}$ [/mm] ist, daß also dieses p und dieses z einen einzelnen, festen Wert beschreiben.


Es sieht so aus, als wenn das ganze eine Grade beschreiben soll: p(z)=vz+s, wobei v eben die Steigung  der Graden ist. Die Steigung einer solchen Graden ist ja [mm] $\bruch{dp(z)}{dz}=p'(z)=\bruch{p_0-s}{z_0-0}$ [/mm]

Das einzige, was hier stört, ist, daß die Vorzeichen in beiden Gleichungen nicht übereinstimmen. Ausgehend von meiner letzten Gleichung, die ja die Aufgabe wiedergibt, ist dann p(z)=vz+s mit [mm] $v=\bruch{p_0\red-\black s}{z_0}$ [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Brauche eine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 So 13.08.2006
Autor: plankton

oh, hab nen schreibfehler in der lösung gehabt:

die muss sein p(z)=v*z-s

macht es jetzt sinn? ansonsten, kann jemand ne gute lektüre zum thema empfehlen?

und danke für die antworten, toll das man irgendwo hilfe finden kann

bye Plankton

Bezug
        
Bezug
Brauche eine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 So 13.08.2006
Autor: riwe

ich schreibe deine gleichung mal "normal":
y´= [mm] \frac{y+s}{x} [/mm]
dann löst man das zeugs durch trennung der variablen
[mm] \integral_{}^{}{\frac{ dy}{y+s}}=\integral_{}^{}{\frac{ dx}{x}} [/mm]
mit der lösung
y = Cx -s
was mit deiner übereinstimmt.

Bezug
                
Bezug
Brauche eine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 So 13.08.2006
Autor: plankton

cool, das hilft weiter und sieht super aus, hab da vorhin was zu gelesen ... danke euch allen. Ist echt toll hier

bye Plankton

Bezug
                
Bezug
Brauche eine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 So 13.08.2006
Autor: plankton

hmm, wie integriert man das, damit man dann auf die lösung kommt?
steh da grad auf nen schlauch..

Bezug
                        
Bezug
Brauche eine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> hmm, wie integriert man das, damit man dann auf die lösung
> kommt?
>  steh da grad auf nen schlauch..

Der Logarithmus ist dein Freund! Es ist naemlich [mm] $(\ln [/mm] x)' = [mm] \frac{1}{x}$, [/mm] womit [mm] $\int \frac{dx}{x} [/mm] = [mm] \ln [/mm] x + C$ ist. Und [mm] $\int \frac{dy}{y + s}$ [/mm] kannst du durch eine Substitution loesen. Oder einfach direkt [mm] $\ln(y [/mm] + s)$ ableiten und die Loesung sehen :-)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Brauche eine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 So 13.08.2006
Autor: plankton

dacht ich mir, aber hab keine ahnung wie ich das ln(y+s) auflöse, ist zu lange her ... bitte bitte bitte ... helf mir lieber Felix, ich denke die ln's verschwinden dann irgendwie oder? aber wie..

Bezug
                                        
Bezug
Brauche eine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> dacht ich mir, aber hab keine ahnung wie ich das ln(y+s)
> auflöse, ist zu lange her ... bitte bitte bitte ... helf
> mir lieber Felix, ich denke die ln's verschwinden dann
> irgendwie oder? aber wie..

Die Ableitung von [mm] $\ln(y [/mm] + s)$, nach $y$ abgeleitet, ist [mm] $\frac{1}{y + s}$ [/mm] (Kettenregel, die innere Funktion ist $f(y) := y + s$, mit Ableitung 1). Also ist [mm] $\int \frac{dy}{y + s} [/mm] = [mm] \ln(y [/mm] + s) + D$.

Du hast also [mm] $\ln(y [/mm] + s) + D = [mm] \ln [/mm] x + C$ mit zwei Konstanten $C, D$. Damit bekommst du [mm] $\ln(y [/mm] + s) - [mm] \ln [/mm] x = C - D =: X$ mit einer neuen Konstanten $X$. Nun ist [mm] $\ln(y [/mm] + s) - [mm] \ln [/mm] x = [mm] \ln \frac{y + s}{x}$, [/mm] und Exponentieren auf beiden Seiten liefert [mm] $\frac{y + s}{x} [/mm] = [mm] e^{\ln \frac{y + s}{x}} [/mm] = [mm] e^X$. [/mm] Dabei ist [mm] $e^X \neq [/mm] 0$ eine neue Konstante. Wenn du das jetzt nach $y$ aufloest, bekommst du die Loesung raus!

LG Felix


Bezug
                                                
Bezug
Brauche eine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 So 13.08.2006
Autor: plankton

aber nun steht doch [mm] $e^{\ln\frac{y+s}{x}}=e^x [/mm] $ aber wie soll ich das nun nach y auflösen?  hmm..

Bezug
                                                        
Bezug
Brauche eine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> aber nun steht doch [mm]e^{\ln\frac{y+s}{x}}=e^x[/mm] aber wie soll
> ich das nun nach y auflösen?  hmm..  

Vorsicht, das $x$ auf der rechten Seite ist eine Konstante und kein kleines $x$ (was eine Variable ist)!

Du musst benutzen, dass [mm] $e^{\ln x} [/mm] = x$ ist fuer alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Dann steht auf der linken Seite naemlich [mm] $\frac{y + s}{x}$ [/mm] anstatt [mm] $e^{\ln \frac{y + s}{x}}$... [/mm]

LG Felix



Bezug
                                                                
Bezug
Brauche eine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 So 13.08.2006
Autor: plankton

Gut, das kann ich nun auflösen :) und das [mm] $e^X$ [/mm] auf der rechten Seite ist irgendeine Integrationskonstante, wofür der Autor dann nen Startwert gewählt hatte ... aha

Aber wieso führt die Annahme [mm] $e^{lnx}=x$ [/mm] zur Auflösung des [mm] $e^{ln}$ [/mm] auf der linken Seite? Was bedeutet dies genau?

Dann haben wir es ja gleich geschafft, danke dir und den anderen.
werde das forum unbedingt in meinen favoriten speichern

bye Plankton

Bezug
                                                                        
Bezug
Brauche eine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 So 13.08.2006
Autor: plankton

Wieso kann man es so umformen, dass das e^ verschwindet?

Bezug
                                                                                
Bezug
Brauche eine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Wieso kann man es so umformen, dass das e^ verschwindet?

Das ist per Definition so: Der natuerliche Logarithmus [mm] $\ln [/mm] x$ ist als Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion [mm] $\exp [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] definiert. Und damit gilt [mm] $\exp(\ln(x)) [/mm] = x$, also [mm] $e^{\ln x} [/mm] = x$.

LG Felix



Bezug
                                                                                        
Bezug
Brauche eine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 So 13.08.2006
Autor: plankton

Dacht ich mir, noch mal vielen Dank für die Hilfe von dir und den anderen.

Wünsche allen eine tolle neue Woche

bye Plankton

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]