Borel Sigma-Algebra 2 < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A eine Subbasis in [mm] $\IR$, [/mm] d.h. A eine Menge von offenen Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] mit der folgenden Eigenschaft: Zu jeder offenen Menge O in [mm] $\IR$ [/mm] gibt es einen beliebigen Index $I$ und [mm] $n<\infty$ [/mm] sowie [mm] $A_{i,j}\in [/mm] A$, [mm] $i\in [/mm] I$, [mm] $j=1,\ldots, [/mm] n$ so dass
[mm] $O=\bigcup_{i\in I}\bigcap^n_{j=1}A_{i,j}$.
[/mm]
Ist $A$ ein Erzeuger der Borel Sigma Algebra in [mm] $\IR$?
[/mm]
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Sei B:=Menge der offenen Mengen in [mm] $\IR$.
[/mm]
Trivial ist [mm] $\sigma(A)\subset Borel=\sigma(B)$.
[/mm]
Doch wie zeige ich die umgekehrte Implikation? Das Problem ist ja, dass I auch überabzählbar sein darf: Ist nämlich $O$ offen, so gibt es einen beliebigen Index $I$ und [mm] $n<\infty$ [/mm] sowie [mm] $A_{i,j}\in [/mm] A$, [mm] $i\in [/mm] I$, [mm] $j=1,\ldots, [/mm] n$ so dass
[mm] $O=\bigcup_{i\in I}\bigcap^n_{j=1}A_{i,j}$.
[/mm]
Klar: [mm] $\bigcap^n_{j=1}A_{i,j}\in \sigma(A)$. [/mm] Aber leider kann man nicht folgern, dass [mm] $\bigcup_{i\in I}\bigcap^n_{j=1}A_{i,j}\in \sigma(A)$, [/mm] da $I$ eben auch überabzählbar sein darf, jedoch nur abzählbare Vereinigungen zu einer [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] gehören. Kann man die Argumentation doch noch retten?
Oder vielleicht scheitert es hierran. :-(
Vielleicht habt ihr eine Idee, wie man [mm] $\sigma(A)$ [/mm] charakterisieren könnte. Mir fällt dazu ncihts ein. Ok, es sind einige offene Mengen enthalten, dann auch Verinigungen und bla bla bla... Aber was bringt das?
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Hallo Leute! Ich habe noch eine Idee:
Sei [mm] I=\{[a,b]|a,b\in \IR\}. [/mm] Dann gilt Borel Sigma [mm] Algebra(\IR) =\sigma(I).
[/mm]
Sei [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Dann gilt
[mm] $[a,b]\subset (a-\epsilon,b+\epsilon)=\bigcup_{i\in I}\bigcap^n_{j=1}A_{i,j}$.
[/mm]
Da $[a,b]$ kompakt ist, folgt
[mm] $[a,b]\subset \bigcup^m_{i=1}\bigcap^n_{j=1}A_{i,j}\in \sigma(A)$.
[/mm]
Aber folgt aus [mm] $[a,b]\subset J\in \sigma(A)$ [/mm] auch [mm] $[a,b]\in \sigma(A)$???
[/mm]
Dann wäre ja eine Subbasis tatsächlich ein Erzeuger der Borel Sigma Algebra in [mm] \IR
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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