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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Maß [mm] $\lambda^d(S)$ [/mm] der folgenden Menge:
[mm] $S=\left\{(x_1, \dotsc, x_d)\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_d \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_d \leqslant 1\right\}$ [/mm] |
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht so recht weiter. Ich habe zwar einen Ansatz, aber da erscheint mir das Endergebnis zu kompliziert zu werden, deswegen wollte ich mal fragen, ob ihr euch meinen Ansatz angucken und mir mitteilen (oder Hinweise darauf geben) könnt, was daran noch nicht in Ordnung ist.
Also, ich wollte das Ganze über Tonelli und den gängigen Zusammenhang zwischen Maß und Integral lösen (ich hoffe, es ist so klar, was gemeint ist):
[mm] $\lambda^d(S)=\lambda^d\left(\left\{(x_1, \dotsc, x_d)\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_d \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_d \leqslant 1\right\}\right)=\int_0^1\lambda^{d-1}\left(\left\{(x_1, \dotsc, x_{d-1})\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_{d-1} \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_{d-1} \leqslant 1-x_d\right\}\right)\mathrm d\lambda^1(x_d)$
[/mm]
[mm] $=\int_0^1\left(\int_0^{1-x_d}\lambda^{d-2}\left(\left\{(x_1, \dotsc, x_{d-2})\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_{d-2} \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_{d-2} \leqslant 1-x_d-x_{d-1}=1-\sum_{i=d-1}^d x_i\right\}\right)\mathrm d\lambda^1(x_{d-1})\right)\mathrm d\lambda^1(x_{d})$
[/mm]
[mm] $=\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=2}^d x_i}\lambda^1\left(\left\{x_1\in\mathbb{R}:x_1 \geqslant 0, \quad x_1\leqslant -\sum_{i=2}^d x_i\right\}\right)\mathrm d\lambda^1(x_2)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)$
[/mm]
[mm] $=\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=2}^d x_i}\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right) \: \mathrm d\lambda^1(x_1)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)$
[/mm]
[mm] $=\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=3}^d x_i}\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right)^2 \: \mathrm d\lambda^1(x_2)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)$
[/mm]
Und ab da hatte ich dann das Gefühl, ich bin auf dem falschen Dampfer, da ich eigentlich auf was anderes gehofft hatte, und zwar hauptsächlich darauf, dass die Variable, über die ich jeweils integrieren will, beim jeweiligen Schritt nicht in der zu integrierenden Funktion enthalten ist, oder sowas, aber ich glaube ich habe da grundsätzlich was falsch gemacht. Außerdem funktioniert das ja schon für [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] also für ein Dreieck, nicht so wie oben, da ja hier noch kein 1/2 aufgetaucht ist.
Könnt ihr mir hier weiter helfen?
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Hiho,
> [mm]\lambda^d(S)=\lambda^d\left(\left\{(x_1, \dotsc, x_d)\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_d \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_d \leqslant 1\right\}\right)=\int_0^1\lambda^{d-1}\left(\left\{(x_1, \dotsc, x_{d-1})\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_{d-1} \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_{d-1} \leqslant 1-x_d\right\}\right)\mathrm d\lambda^1(x_d)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=\int_0^1\left(\int_0^{1-x_d}\lambda^{d-2}\left(\left\{(x_1, \dotsc, x_{d-2})\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_{d-2} \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_{d-2} \leqslant 1-x_d-x_{d-1}=1-\sum_{i=d-1}^d x_i\right\}\right)\mathrm d\lambda^1(x_{d-1})\right)\mathrm d\lambda^1(x_{d})[/mm]
> [mm]=\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=2}^d x_i}\lambda^1\left(\left\{x_1\in\mathbb{R}:x_1 \geqslant 0, \quad x_1\leqslant -\sum_{i=2}^d x_i\right\}\right)\mathrm d\lambda^1(x_2)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)[/mm]
, bis auf die Tatsache, dass du die 1 vergessen hast.
Es müsste $1- [mm] \sum_{i=2}^d x_i$ [/mm] heißen.
Aber nachher setzt du es ja wieder richtig ein.
> [mm]=\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=2}^d x_i}\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right) \: \mathrm d\lambda^1(x_1)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier darfst du nur noch über [mm] $d\lambda^1(x_2)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)$ [/mm] integrieren.
Denn es gilt ja schließlich:
[mm] $\lambda^1\left(\left\{x_1\in\mathbb{R}:x_1 \geqslant 0, \quad x_1\leqslant 1 -\sum_{i=2}^d x_i\right\}\right)=\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right)$
[/mm]
Das ändert aber erstmal nix an den auftretenden Integralen.
Aber letztlich musst du doch jetzt nichts anderes mehr machen, als die Linearität des Integrals auszunutzen!
MFG,
Gono.
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Hallo, danke erstmal für deine Hilfe!
> , bis auf die Tatsache, dass du die 1 vergessen hast.
> Es müsste [mm]1- \sum_{i=2}^d x_i[/mm] heißen.
> Aber nachher setzt du es ja wieder richtig ein.
Ja, an dieser Stelle war das tatsächlich nur ein Übertragungsfehler. :)
> > [mm]=\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=2}^d x_i}\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right) \: \mathrm d\lambda^1(x_1)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)[/mm]
>
>
> Hier darfst du nur noch über [mm]d\lambda^1(x_2)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d)[/mm]
> integrieren.
> Denn es gilt ja schließlich:
>
> [mm]\lambda^1\left(\left\{x_1\in\mathbb{R}:x_1 \geqslant 0, \quad x_1\leqslant 1 -\sum_{i=2}^d x_i\right\}\right)=\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right)[/mm]
>
Hier nicht, also danke für den Hinweis!
> Das ändert aber erstmal nix an den auftretenden
> Integralen.
> Aber letztlich musst du doch jetzt nichts anderes mehr
> machen, als die Linearität des Integrals auszunutzen!
>
> MFG,
> Gono.
Also bis dahin ist es richtig? Habe ich dann richtig weitergerechnet?
[mm] $\ldots =\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=2}^d x_i}\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right) \: \mathrm d\lambda^1(x_2)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d) [/mm] $
[mm] $=\int_0^1\dotsi \int_0^{1-\sum_{i=3}^d x_i}\left(1-\sum_{i=3}^d x_i\right)\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right) [/mm] - [mm] \frac{\left(1-\sum_{i=2}^d x_i\right)^2}{2} \: \mathrm d\lambda^1(x_3)\dotsm\mathrm d\lambda^1(x_d) [/mm] $
Das wird doch jetzt nur noch bei jedem Schritt um ein Vielfaches komplizierter. Lässt sich das dann irgendwie noch vernünftig vereinfachen? Ich kann mir kaum vorstellen, dass es richtig ist, wenn ich bei solch einem "hässlichen" Integral ankomme, oder hätte da in irgendeinem Schritt die Variable wegfallen sollen, über die ich jeweils integriere? Ich werde ja so auch wahrscheinlich keine Variablen los, so dass ich am Ende nur noch einen Ausdruck mit [mm] $x_d$ [/mm] da stehen habe, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 06.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Probiers mal so:
Sei [mm] $S_d=\left\{(x_1, \dotsc, x_d)\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_d \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_d \leqslant 1\right\} [/mm] $
Berechne
$ [mm] \lambda^1(S_1) [/mm] $ , $ [mm] \lambda^2(S_2) [/mm] $ und $ [mm] \lambda^3(S_3) [/mm] $
Dann solltest Du auf eine Vermutung für $ [mm] \lambda^d(S_d) [/mm] $ kommen.
Diese Vermutung beweise dann mit Induktion nach d mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 So 09.12.2012 | | Autor: | Lustique |
> Probiers mal so:
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> Sei [mm]S_d=\left\{(x_1, \dotsc, x_d)\in\mathbb{R}^d:x_1, \dotsc, x_d \geqslant 0, \quad x_1+\dotsb +x_d \leqslant 1\right\}[/mm]
>
> Berechne
>
> [mm]\lambda^1(S_1)[/mm] , [mm]\lambda^2(S_2)[/mm] und [mm]\lambda^3(S_3)[/mm]
>
> Dann solltest Du auf eine Vermutung für [mm]\lambda^d(S_d)[/mm]
> kommen.
>
> Diese Vermutung beweise dann mit Induktion nach d mit Hilfe
> des Prinzips von Cavalieri.
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> FRED
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Danke FRED, das hat mir weitergeholfen!
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